偏序

偏序
术语名称	偏序
英语名称	partial order
别名	偏序关系, weak partial order, reflexive partial order, non-strict partial order

偏序集
术语名称	偏序集
英语名称	partially ordered set
别名	poset, non-strict partially ordered set

偏序(partial order)指集合上的一个二元关系同时自反、反对称且传递。 元素间存在偏序关系的集合称为偏序集(partially ordered set, poset)。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] ，如果满足自反性、反对称性和传递性，即：

• 自反性： [math]\displaystyle{ \forall a \in P (a \preceq a) }[/math]
• 反对称性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b ((a \preceq b \land b \preceq a) \rightarrow a = b) }[/math]
• 传递性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a \preceq b \land b \preceq c \rightarrow a \preceq c) }[/math]

称关系 [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 为一个偏序(partial order)。 并称带有偏序关系的集合 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] 为偏序集(partially ordered set, poset) 。

关联

（有限）偏序集的结构可以被 Hasse 图直观地可视化。

预序的特征是内部元素的先后关系的传递性可能使其产生层次，每个层次内可能有不相关的几个子部分，每个子部分又是一个偏序。

偏序是反对称的预序。

如果偏序是完全的，无法存在不相关的部分，只剩下一个带有层次的“链”，是全序。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全