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[[分类:序理论]]
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|keywords=区间, 闭区间, 开区间
|description=本文介绍序理论中区间的概念，包括在偏序集和格中各种类型区间的定义、性质。
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|published_time=2025-10-26
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|name=区间
|eng_name=interval
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'''区间'''('''interval''')指[[偏序集]]上两个给定元素之间的所有元素构成的[[凸集|凸]]子集。
区间概念在格理论、组合序理论和代数序理论中都有重要应用。

<blockquote>
本文讲述的是偏序集上的区间，是常见的实数等数集上的区间的推广。实数集上的区间参见[[区间]]条目。
</blockquote>

== 定义 ==

对一个[[偏序集]] <math>(P, \preceq)</math> 及任意两个元素 <math>a, b \in P<math> ，满足 <math>a \preceq b</math>
，有以下由元素 <math>a, b</math> 作为边界的集合：
* <math>[a, b] = \{x \in P \mid a \preceq x \land x \preceq b\}</math> ，称为 <math>a</math> 到 <math>b</math> 的'''闭区间'''('''closed interval''')。

定义与 <math>\preceq</math> 对应的[[严格偏序]] <math>a\prec b</math> 当且仅当 <math>a\preceq b\land a\neq b</math> ，有以下集合：
* <math>(a, b) = \{x \in P \mid a \prec x \land x\prec b\}</math> ，称为 <math>a</math> 到 <math>b</math> 的'''开区间'''('''open interval''')；
* <math>[a, b) = \{x \in P \mid a \preceq x \land x \prec b\}</math> ，称为 <math>a</math> 到 <math>b</math> 的'''左闭右开区间'''；
* <math>(a, b] = \{x \in P \mid a \prec x \land x \preceq b\}</math> ，称为 <math>a</math> 到 <math>b</math> 的'''左开右闭区间'''。
后两者统称'''半开区间'''('''half-open interval''')。

若区间在 <math>P</math> 内有上界和下界，即 <math>\exists p_1,p_2 \in P (I\subseteq [p_1,p_2])</math> ，称区间'''有界'''('''bounded''')。
但在集合内有界不必要在集合内有上下确界（或者说，不要求上下确界也在集合内）。
偏序集中一般不讨论单侧无界的区间 <math>\{x\in P\mid a\prec x\}</math> 。

若偏序集中所有有界区间都是有限集，也称偏序集'''局部有限'''('''locally finite''')。

== 性质 ==

* 区间本身构成一个[[偏序集]]，继承原偏序集的序关系
* 区间是凸的：对于任意 $x, y \in [a, b]$ 且 $x \leq z \leq y$，有 $z \in [a, b]$
* 闭区间至少含有 <math>a,b</math> 两个元素，半开区间在 <math>a\neq b</math> 时至少含有一个元素，开区间可能是空集。
* 区间的[[交集]]或者是空集或者仍是区间
* 区间的[[并集]]'''不一定'''是区间
* 区间长度可定义为该区间作为偏序集的[[高度]]

=== 组合性质 ===
* 有限偏序集的区间数量是其重要的组合不变量
* 通过区间可以定义偏序集的[[阶多项式]]和[[特征多项式]]

=== 代数性质 ===
* 在[[格（序理论）|格]]中，区间 $[a, b]$ 是一个子格
* 如果原格是[[分配格]]，则区间也是分配格
* 如果原格是[[模格]]，则区间也是模格

== 特殊类型的区间 ==

=== 基本区间 ===
如果区间 $[a, b]$ 满足 $b$ [[覆盖关系（偏序）|覆盖]] $a$（即不存在 $c$ 使得 $a < c < b$），则称 $[a, b]$ 为'''基本区间'''或'''覆盖区间'''。

=== 质区间 ===
如果区间 $[a, b]$ 是[[全序]]的（即任意两个元素可比），则称该区间为'''质区间'''。

=== 不可约区间 ===
在[[格理论]]中，如果区间 $[a, b]$ 不能表示为两个更小区间的并，则称为'''不可约区间'''。

== 与格理论的关系 ==

在[[格理论]]中，区间概念尤为重要：

=== 区间长度公式 ===
在有限格中，如果存在从 $a$ 到 $b$ 的[[极大链]]，则区间 $[a, b]$ 的[[长度]]等于该极大链的长度减一。

=== 模不等式 ===
在任意格中，对于区间 $[a \wedge b, b]$ 和 $[a, a \vee b]$，有：
$$[a \wedge b, b] \cong [a, a \vee b] \quad \text{当且仅当格是模格}$$

=== 投射性 ===
在[[模格]]中，任意区间都是[[投射格]]。


{{序理论}}
{{格理论}}