区间（序理论）
| 区间 | |
|---|---|
| 术语名称 | 区间 |
| 英语名称 | interval |
区间(interval)指偏序集上两个给定元素之间的所有元素构成的凸子集。 区间概念在格理论、组合序理论和代数序理论中都有重要应用。
本文讲述的是偏序集上的区间，是常见的实数等数集上的区间的推广。实数集上的区间参见区间条目。
定义
对一个偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] 及任意两个元素 [math]\displaystyle{ a, b \in P\lt math\gt ，满足 \lt math\gt a \preceq b }[/math] ，有以下由元素 [math]\displaystyle{ a, b }[/math] 作为边界的集合：
- [math]\displaystyle{ [a, b] = \{x \in P \mid a \preceq x \land x \preceq b\} }[/math] ，称为 [math]\displaystyle{ a }[/math] 到 [math]\displaystyle{ b }[/math] 的闭区间(closed interval)。
定义与 [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 对应的严格偏序 [math]\displaystyle{ a\prec b }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ a\preceq b\land a\neq b }[/math] ，有以下集合：
- [math]\displaystyle{ (a, b) = \{x \in P \mid a \prec x \land x\prec b\} }[/math] ，称为 [math]\displaystyle{ a }[/math] 到 [math]\displaystyle{ b }[/math] 的开区间(open interval)；
- [math]\displaystyle{ [a, b) = \{x \in P \mid a \preceq x \land x \prec b\} }[/math] ，称为 [math]\displaystyle{ a }[/math] 到 [math]\displaystyle{ b }[/math] 的左闭右开区间；
- [math]\displaystyle{ (a, b] = \{x \in P \mid a \prec x \land x \preceq b\} }[/math] ，称为 [math]\displaystyle{ a }[/math] 到 [math]\displaystyle{ b }[/math] 的左开右闭区间。
后两者统称半开区间(half-open interval)。
若区间在 [math]\displaystyle{ P }[/math] 内有上界和下界，即 [math]\displaystyle{ \exists p_1,p_2 \in P (I\subseteq [p_1,p_2]) }[/math] ，称区间有界(bounded)。 但在集合内有界不必要在集合内有上下确界（或者说，不要求上下确界也在集合内）。 偏序集中一般不讨论单侧无界的区间 [math]\displaystyle{ \{x\in P\mid a\prec x\} }[/math] 。
若偏序集中所有有界区间都是有限集，也称偏序集局部有限(locally finite)。
性质
- 区间本身构成一个偏序集，继承原偏序集的序关系
- 区间是凸的：对于任意 $x, y \in [a, b]$ 且 $x \leq z \leq y$，有 $z \in [a, b]$
- 闭区间至少含有 [math]\displaystyle{ a,b }[/math] 两个元素，半开区间在 [math]\displaystyle{ a\neq b }[/math] 时至少含有一个元素，开区间可能是空集。
- 区间的交集或者是空集或者仍是区间
- 区间的并集不一定是区间
- 区间长度可定义为该区间作为偏序集的高度
组合性质
代数性质
特殊类型的区间
基本区间
如果区间 $[a, b]$ 满足 $b$ 覆盖 $a$（即不存在 $c$ 使得 $a < c < b$），则称 $[a, b]$ 为基本区间或覆盖区间。
质区间
如果区间 $[a, b]$ 是全序的（即任意两个元素可比），则称该区间为质区间。
不可约区间
在格理论中，如果区间 $[a, b]$ 不能表示为两个更小区间的并，则称为不可约区间。
与格理论的关系
在格理论中，区间概念尤为重要：
区间长度公式
在有限格中，如果存在从 $a$ 到 $b$ 的极大链，则区间 $[a, b]$ 的长度等于该极大链的长度减一。
模不等式
在任意格中，对于区间 $[a \wedge b, b]$ 和 $[a, a \vee b]$，有： $$[a \wedge b, b] \cong [a, a \vee b] \quad \text{当且仅当格是模格}$$
投射性
| 序理论 | ||
|---|---|---|
| 预序、预序集 | 极大元、极小元 | 最大元、最小元 |
| 上界、下界 | 上确界、下确界 | |
| 方向、有向集 | 半格（并半格、交半格） | 有界半格（有界并半格、有界交半格） |
| 格 | 有界格 | |
| 偏序、偏序集 | Hasse 图 | |
| 链、长度、高度 | 反链、宽度 | |
| Dilworth 定理 | Mirsky 定理 | |