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[[分类:序理论]]{{DEFAULTSORT:quan2xu4}}
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|keywords=全序, 线序, 简单序, 全序集, 线序集
|description=本文介绍全序关系的定义、性质和应用，包括全序作为完全偏序的特征、全序集的基本性质。
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|published_time=2024-03-02
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|name=全序
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|name=全序集
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|aliases=线序集,linearly ordered set,loset,简单序集,simply ordered set,链,chain
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'''全序'''('''total order''')，也称'''线序'''('''linear order''')，指[[集合]]上的一个二元[[关系]]，是[[完全关系|完全]]的[[偏序]]，或者说同时是[[自反关系]]、[[反对称关系]]、[[传递关系]]、完全关系。
元素间存在全序关系的[[集合]]称为'''全序集'''('''totally ordered set''')或'''线序集'''('''linearly ordered set''')。

== 定义 ==

对集合 <math>P</math> 上的二元关系 <math>\leq</math> ，如果是一个偏序、且有完全性，即满足：
* 自反性： <math>\forall a \in P (a \leq a)</math>
* 传递性： <math>\forall a \forall b \forall c (a \leq b \land b \leq c \rightarrow a \leq c)</math>
* 反对称性： <math>\forall a \forall b (a \leq b \land b \leq a \rightarrow a = b)</math>
* 完全性： <math>\forall a \forall b (a \leq b \lor b \leq a)</math>
称关系 <math>\leq</math> 为一个'''全序'''('''total order''')或'''线序'''('''linear order''')。
并称带有全序关系的集合 <math>(P, \leq)</math> 为'''全序集'''('''totally ordered set''')、'''线序集'''('''linearly ordered set''', '''loset''')，有时也称'''链'''('''chain''')。

== 关系图特征 ==

全部结点间构成一条链，链中任意结点存在到链方向全部结点的单向边，图中所有的边都指向自身或指向这一方向的结点。

全序集的结构可以被 [[Hasse 图]]直观地可视化。 Hasse 图中所有结点构成一条[[链]]。

== 性质 ==

* 基本特征
** 全序是自反、反对称、传递且完全的二元关系
* 序结构性质
** 全序集的每个子集也是全序集（继承序关系）
** 全序集的 Hasse 图是一条链（线性结构）
** 有限全序集在同构意义下唯一由元素个数决定
* 运算性质
** 全序的[[交（关系）|交]]'''不一定'''是全序
** 全序的[[并（关系）|并]]'''不一定'''是全序
** 全序的[[复合（关系）|复合]]'''不一定'''是全序
** 全序集的[[笛卡尔积]]在[[字典序]]下是全序集
* 全序集中的特殊元素
** 全序集中的[[极大元、极小元]]与[[最大元、最小元]]等价。
** [[最大元、最小元]]如果存在则唯一。
** [[上确界、下确界]]如果存在则唯一。

== 关联 ==

* 全序是完全的偏序。
* 全序是反对称的[[弱序]]。
* 全序和严格全序对应
** 每个全序都可以诱导一个[[严格全序]]：定义 <math>x<y</math> 当且仅当 <math>x\leq y \land x\neq y</math> 。
** 每个严格全序都可以诱导一个全序：定义 <math>x\leq y</math> 当且仅当 <math>x<y \lor x=y</math> 。


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{{二元关系复合类型}}