全序

全序
术语名称	全序
英语名称	total order
别名	线序, linear order, 简单序.simple order

全序集
术语名称	全序集
英语名称	totally ordered set
别名	线序集, linearly ordered set, loset, 简单序集, simply ordered set, 链, chain

全序(total order)，也称线序(linear order)，指集合上的一个二元关系，是完全的偏序。元素间存在全序关系的集合称为全序集(totally ordered set)或线序集(linearly ordered set)。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \leq }[/math] ，如果是一个偏序、且有完全性，即满足：

自反性： [math]\displaystyle{ \forall a \in P (a \leq a) }[/math]
传递性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a \leq b \land b \leq c \rightarrow a \leq c) }[/math]
反对称性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \leq b \land b \leq a \rightarrow a = b) }[/math]
完全性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \leq b \lor b \leq a) }[/math]

称关系 [math]\displaystyle{ \leq }[/math] 为一个全序(total order)或线序(linear order)。并称带有全序关系的集合 [math]\displaystyle{ (P, \leq) }[/math] 为全序集(totally ordered set)、线序集(linearly ordered set, loset)，有时也称链(chain)。

关联

（有限）全序集的结构可以被 Hasse 图直观地可视化。表现为一条链状的结构。

全序是完全的偏序。

全序是反对称的弱序。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
运算	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全