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[[分类:格论]]{{DEFAULTSORT:you3jie4ban4ge2}}
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|keywords=有界半格, 有界交半格, 有界并半格
|description=本文介绍有界半格的定义、性质和应用，包括有界交半格和有界并半格的序理论与代数系统两种等价定义。
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|published_time=2024-03-02
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'''有界交半格'''('''bounded meet-semilattice''')指一个带有[[最大元]]的[[交半格]]。
'''有界并半格'''('''bounded join-semilattice''')指一个带有最小元的并半格。
也指其由抽象出的，在满足[[结合律]]、[[交换律]]、[[幂等律（二元运算）|幂等律]]的代数系统'''半格'''的基础上增加[[幺元]]的代数系统。

满足这一条件的偏序满足这样的运算规则，满足这一规则的代数结构本身也会定义一个偏序。

== 定义 ==

以下两个定义的结构等价。

=== 序理论定义 ===

对偏序集 <math>(P, \preceq)</math> ，若对任意子集 <math>\{x,y\} \subseteq P</math> 都存在其[[下确界]]，且集合中有最大元，记作 <math>1</math> ，则此时，
称 <math>P</math> 是一个'''有界交半格'''('''bounded meet-semilattice''')，
其中由 <math>x,y</math> （可相同）构成的集合的下确界称为元素 <math>x,y</math> 的'''交'''('''meet''')，
记作 <math>x \wedge y</math> 。

对偏序集 <math>(P, \preceq)</math> ，若对任意子集 <math>\{x,y\} \subseteq P</math> 都存在其上确界，且集合中有最小元，记作 <math>0</math> ，则此时，
称 <math>P</math> 是一个'''有界并半格'''('''bounded join-semilattice''')，
其中由 <math>x,y</math> （可相同）构成的集合的上确界称为元素 <math>x,y</math> 的'''并'''('''join''')，
记作 <math>x \vee y</math> 。

有界交半格和有界并半格统称'''有界半格'''('''bounded semilattice''')。

=== 代数系统定义 ===

对非空集合 <math>S</math> 及其上一个二元运算 <math>\wedge</math> ，若其满足以下'''公理'''：

* '''封闭性'''('''closure''')：<math>(\forall a, b \in S) (a\wedge b \in S)</math> ；
* '''结合性'''('''associativity''')： <math>(\forall a,b,c \in S) ((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c))</math> 。
* '''交换性'''('''commutativity''')： <math>(\forall a,b \in S) (a\wedge b = b\wedge a)</math> 。
* '''幂等性'''('''idempotency''')： <math>(\forall a \in S) (a\wedge a = a)</math> 。
* '''存在幺元'''('''identity''')： <math>\exists 1 \in S</math> 使得 <math>a \wedge 1 = a</math>

则构成的代数系统 <math>(S, \wedge, 1)</math> 称为一个'''有界半格'''('''bounded semilattice''')。

以上定义的代数系统中，运算 <math>\wedge</math> 称为'''交'''('''meet''')，并称代数系统 <math>(S, \wedge, 1)</math> 为'''有界交半格'''('''bounded meet-semilattice''')；
如果使用 <math>\vee</math> ，称为'''并'''('''join''')，幺元记作 <math>0</math> ，并称代数系统 <math>(S, \vee, 0)</math> 为'''有界并半格'''('''bounded join-semilattice''')

=== 性质描述 ===

* 满足幂等律的交换[[幺半群]]称为有界半格。
* 有幺元的半格称为有界半格。

=== 两种定义的等价性 ===

序理论定义和代数系统定义是等价的：

* 序理论到代数
** 在序理论定义的有界交半格 <math>(P, \leq, 1)</math> 中，定义运算 <math>a \wedge b = \inf\{a,b\}</math> ；由于 <math>1</math> 是最大元，即 <math>a\leq 1</math> ，有 <math>\inf\{a,1\} = a</math> ；
** 在序理论定义的有界并半格 <math>(P, \leq, 0)</math> 中，定义运算 <math>a \vee b = \sup\{a,b\}</math> ；由于 <math>0</math> 是最小元，即 <math>0\leq a</math> ，有 <math>\sup\{a,0\} = a</math> ；
** 则这些运算满足结合律、交换律、幂等律的代数结构，且最值元素对应幺元。
* 从代数到序理论
** 在代数定义的交半格 <math>(S, \wedge, 1)</math> 中，定义偏序 <math>a \leq b \Leftrightarrow a \wedge b = a</math> ；幺元满足对任意 <math>a</math> 有 <math>a\wedge 1= a</math> ，即 <math>a\leq 1</math> ，是最大元；
** 在代数定义的并半格 <math>(S, \vee, 0)</math> 中，定义偏序 <math>a \leq b \Leftrightarrow a \vee b = b</math> ；幺元满足对任意 <math>a</math> 有 <math>a\vee 0= a</math> ，即 <math>0\leq a</math> ，是最小元；
** 这些偏序关系使得代数运算对应偏序中的确界，且幺元同时是最值元素。

== 性质 ==

* 基本特征
** 有界交半格：任意两个元素有下确界（交运算 <math>\wedge</math> ），且有最大元。
** 有界并半格：任意两个元素有上确界（并运算 <math>\vee</math> ），且有最小元。
** 有界半格是有界交半格和有界并半格的统称，只要求有上确界和下确界之一，并有反方向的最值元素。
** 半格是[[有向集]]：交半格是下有向集，并半格是上有向集。
* 与格的关系
** [[有界格]]是有界半格的特化，两个运算使其既是有界交半格也是有界并半格。
** 有界半格是有界格的推广，只要求的一侧的运算关系和对侧的最值元素，去掉了另一个运算的存在性要求。
* 运算性质
** 有界半格的[[子代数]]仍是有界半格；
** 有界半格的[[直积]]仍是有界半格；
** 有界半格的[[同态像]]仍是有界半格；
** 有界半格可以嵌入到有界格中。
* 代数性质
** 半格是幂等、交换的[[幺半群]]。


{{二元关系复合类型}}
{{格及相关代数系统}}