有界半格
| 有界半格 | |
|---|---|
| 术语名称 | 有界半格 |
| 英语名称 | bounded semilattice |
| 有界交半格 | |
|---|---|
| 术语名称 | 有界交半格 |
| 英语名称 | bounded join-semilattice |
| 别名 | bounded upper semilattice |
| 有界并半格 | |
|---|---|
| 术语名称 | 有界并半格 |
| 英语名称 | bounded meet-semilattice |
| 别名 | bounded lower semilattice |
有界交半格(bounded join-semilattice)指一个带有最小元的交半格。 其对偶，有界并半格(bounded meet-semilattice)指一个带有最大元的并半格。 也指其由抽象出的，在满足结合律、交换律、幂等律的代数系统半格的基础上增加幺元的代数系统。
满足这一条件的偏序满足这样的运算规则，满足这一规则的代数结构本身也会定义一个偏序。
定义
以下两个定义的结构等价。
序理论定义
对偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] ，若对任意子集 [math]\displaystyle{ \{x,y\} \subseteq P }[/math] 都存在其下确界，且集合中有最小元，则此时，称 [math]\displaystyle{ P }[/math] 是一个有界交半格(bounded join-semilattice)，其中由 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] （可以相同）构成的集合的下确界称为元素 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] 的交(join)，记作 [math]\displaystyle{ x \wedge y }[/math] 。
对偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] ，若对任意子集 [math]\displaystyle{ \{x,y\} \subseteq P }[/math] 都存在其上确界，且集合中有最大元，则此时，称 [math]\displaystyle{ P }[/math] 是一个有界并半格(bounded meet-semilattice)，其中由 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] （可以相同）构成的集合的上确界称为元素 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] 的并(meet)，记作 [math]\displaystyle{ x \vee y }[/math] 。
代数系统定义
对非空集合 [math]\displaystyle{ S }[/math] 及其上一个二元运算 [math]\displaystyle{ \wedge }[/math] ，若其满足以下公理：
- 封闭性(closure)：[math]\displaystyle{ (\forall a, b \in S) (a\wedge b \in S) }[/math] ；
- 结合性(associativity)：[math]\displaystyle{ (\forall a,b,c \in S) ((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)) }[/math] 。
- 交换性(commutativity)：[math]\displaystyle{ (\forall a,b \in S) (a\wedge b = b\wedge a) }[/math] 。
- 幂等性(idempotency)：[math]\displaystyle{ (\forall a \in S) (a\wedge a = a) }[/math] 。
- 存在幺元(identity)： [math]\displaystyle{ \exists 1 \in S }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ a \wedge 1 = a }[/math]
则构成的代数系统 [math]\displaystyle{ \langle S, \wedge, 1 \rangle }[/math] 称为一个有界半格(bounded semilattice)。
以上定义的代数系统中，运算 [math]\displaystyle{ \wedge }[/math] 称为交(join)，并称代数系统 [math]\displaystyle{ \langle S, \wedge, 1 \rangle }[/math] 为有界交半格(bounded join-semilattice)；如果使用 [math]\displaystyle{ \vee }[/math] ，称为并(meet)，幺元记作 [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ，并称代数系统 [math]\displaystyle{ \langle S, \vee, 0 \rangle }[/math] 为有界并半格(bounded meet-semilattice)
性质描述
- 满足幂等律的交换幺半群称为有界半格。
- 有幺元的半格称为有界半格。
| 二元关系复合类型 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 名称 | 自反、反自反 | 对称、反对称 | 传递 | 其他 | |
| 预序 | 自反 | - | 传递 | - | |
| 等价关系 | 自反 | 对称 | 传递 | - | |
| 方向 | 自反 | - | 传递 | 有上/下界 | |
| 偏序 | 自反 | 反对称 | 传递 | - | |
| 弱序/全序划分 | 自反 | - | 传递 | 完全 | |
| 全序 | 自反 | 反对称 | 传递 | 完全 | |
| 良序 | 自反 | 反对称 | 传递 | 完全、良基 | |
| 不对称 | 反自反 | 反对称 | - | - | |
| 拟序/严格偏序 | 反自反 | 反对称 | 传递 | - | |
| 严格弱序/严格全序划分 | 反自反 | 反对称 | 传递 | 不可比关系传递 | |
| 严格全序 | 反自反 | 反对称 | 传递 | 完全 | |