有界半格

有界半格
术语名称	有界半格
英语名称	bounded semilattice

有界交半格
术语名称	有界交半格
英语名称	bounded meet-semilattice
别名	bounded lower semilattice

有界并半格
术语名称	有界并半格
英语名称	bounded join-semilattice
别名	bounded upper semilattice

有界交半格(bounded meet-semilattice)指一个带有最大元的交半格。 有界并半格(bounded join-semilattice)指一个带有最小元的并半格。也指其由抽象出的，在满足结合律、交换律、幂等律的代数系统半格的基础上增加幺元的代数系统。

满足这一条件的偏序满足这样的运算规则，满足这一规则的代数结构本身也会定义一个偏序。

定义

以下两个定义的结构等价。

序理论定义

对偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] ，若对任意子集 [math]\displaystyle{ \{x,y\} \subseteq P }[/math] 都存在其下确界，且集合中有最大元，记作 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ，则此时，称 [math]\displaystyle{ P }[/math] 是一个有界交半格(bounded meet-semilattice)，其中由 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] （可相同）构成的集合的下确界称为元素 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] 的交(meet)，记作 [math]\displaystyle{ x \wedge y }[/math] 。

对偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] ，若对任意子集 [math]\displaystyle{ \{x,y\} \subseteq P }[/math] 都存在其上确界，且集合中有最小元，记作 [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ，则此时，称 [math]\displaystyle{ P }[/math] 是一个有界并半格(bounded join-semilattice)，其中由 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] （可相同）构成的集合的上确界称为元素 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] 的并(join)，记作 [math]\displaystyle{ x \vee y }[/math] 。

有界交半格和有界并半格统称有界半格(bounded semilattice)。

代数系统定义

对非空集合 [math]\displaystyle{ S }[/math] 及其上一个二元运算 [math]\displaystyle{ \wedge }[/math] ，若其满足以下公理：

封闭性(closure)：[math]\displaystyle{ (\forall a, b \in S) (a\wedge b \in S) }[/math] ；
结合性(associativity)： [math]\displaystyle{ (\forall a,b,c \in S) ((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)) }[/math] 。
交换性(commutativity)： [math]\displaystyle{ (\forall a,b \in S) (a\wedge b = b\wedge a) }[/math] 。
幂等性(idempotency)： [math]\displaystyle{ (\forall a \in S) (a\wedge a = a) }[/math] 。
存在幺元(identity)： [math]\displaystyle{ \exists 1 \in S }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ a \wedge 1 = a }[/math]

则构成的代数系统 [math]\displaystyle{ (S, \wedge, 1) }[/math] 称为一个有界半格(bounded semilattice)。

以上定义的代数系统中，运算 [math]\displaystyle{ \wedge }[/math] 称为交(meet)，并称代数系统 [math]\displaystyle{ (S, \wedge, 1) }[/math] 为有界交半格(bounded meet-semilattice)；如果使用 [math]\displaystyle{ \vee }[/math] ，称为并(join)，幺元记作 [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ，并称代数系统 [math]\displaystyle{ (S, \vee, 0) }[/math] 为有界并半格(bounded join-semilattice)

性质描述

满足幂等律的交换幺半群称为有界半格。
有幺元的半格称为有界半格。

两种定义的等价性

序理论定义和代数系统定义是等价的：

序理论到代数
- 在序理论定义的有界交半格 [math]\displaystyle{ (P, \leq, 1) }[/math] 中，定义运算 [math]\displaystyle{ a \wedge b = \inf\{a,b\} }[/math] ；由于 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] 是最大元，即 [math]\displaystyle{ a\leq 1 }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ \inf\{a,1\} = a }[/math] ；
- 在序理论定义的有界并半格 [math]\displaystyle{ (P, \leq, 0) }[/math] 中，定义运算 [math]\displaystyle{ a \vee b = \sup\{a,b\} }[/math] ；由于 [math]\displaystyle{ 0 }[/math] 是最小元，即 [math]\displaystyle{ 0\leq a }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ \sup\{a,0\} = a }[/math] ；
- 则这些运算满足结合律、交换律、幂等律的代数结构，且最值元素对应幺元。
从代数到序理论
- 在代数定义的交半格 [math]\displaystyle{ (S, \wedge, 1) }[/math] 中，定义偏序 [math]\displaystyle{ a \leq b \Leftrightarrow a \wedge b = a }[/math] ；幺元满足对任意 [math]\displaystyle{ a }[/math] 有 [math]\displaystyle{ a\wedge 1= a }[/math] ，即 [math]\displaystyle{ a\leq 1 }[/math] ，是最大元；
- 在代数定义的并半格 [math]\displaystyle{ (S, \vee, 0) }[/math] 中，定义偏序 [math]\displaystyle{ a \leq b \Leftrightarrow a \vee b = b }[/math] ；幺元满足对任意 [math]\displaystyle{ a }[/math] 有 [math]\displaystyle{ a\vee 0= a }[/math] ，即 [math]\displaystyle{ 0\leq a }[/math] ，是最小元；
- 这些偏序关系使得代数运算对应偏序中的确界，且幺元同时是最值元素。

性质

基本特征
- 有界交半格：任意两个元素有下确界（交运算 [math]\displaystyle{ \wedge }[/math] ），且有最大元。
- 有界并半格：任意两个元素有上确界（并运算 [math]\displaystyle{ \vee }[/math] ），且有最小元。
- 有界半格是有界交半格和有界并半格的统称，只要求有上确界和下确界之一，并有反方向的最值元素。
- 半格是有向集：交半格是下有向集，并半格是上有向集。
与格的关系
- 有界格是有界半格的特化，两个运算使其既是有界交半格也是有界并半格。
- 有界半格是有界格的推广，只要求的一侧的运算关系和对侧的最值元素，去掉了另一个运算的存在性要求。
运算性质
- 有界半格的子代数仍是有界半格；
- 有界半格的直积仍是有界半格；
- 有界半格的同态像仍是有界半格；
- 有界半格可以嵌入到有界格中。
代数性质
- 半格是幂等、交换的幺半群。

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
相容关系	自反	对称	-	-
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
半格	自反	反对称	传递	有上/下确界
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全

模板:格及相关代数系统