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[[分类:序数理论]]{{DEFAULTSORT:jia1fa3}}
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|keywords=序数加法, 良序加法, 序型加法
|description=本文介绍序数加法的定义、性质和应用，包括通过良序集串联和超限递归两种定义方式，以及序数加法的结合律、非交换性等基本性质。
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|published_time=2025-10-30
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{{InfoBox
|name=加法
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两个[[良序]]前后“串联”，即保持每个良序集内部结构，并定义后一良序集中任意元素大于前一良序集中任意元素，结果仍是良序，这一运算称为良序的'''加法'''('''addition''')。[[序数]]的'''加法'''('''addition''')指对两个序数，连接这两个序数的良序集得到的新良序集的序数。

== 定义 ==

=== 序意义 ===

对序数为 <math>\alpha,\beta</math> 的两个良序集 <math>(S, \leq_S), (T, \leq_T)</math> ，有[[笛卡尔积]] <math>S\times\{0\}\cup T\times\{1\}</math> 上的[[反向字典序]]，即 <math>(x,i) \leq (y,j) \leftrightarrow i<j \lor (i=j \land x\leq y)</math> 也是一个良序，称为良序 <math>\leq_S,\leq_T</math> 的'''和'''('''sum''')，其序型称为序型 <math>\alpha,\beta</math> 的'''和'''('''sum''')，记作 <math>\alpha+\beta</math> 。这一运算称为序型的'''加法'''('''addition''')。

==== 等价定义 ====

对序数为 <math>\alpha,\beta</math> 的两个良序集 <math>(S, \leq_S), (T, \leq_T)</math> ，有[[不交并]] <math>S\sqcup T</math> 上的良序 <math>x \leq y</math> ， <math>x\leq y</math> 当且仅当满足以下条件之一：
* <math>x\in S \land y\in S \land x\leq_S y</math> ；
* <math>x\in T \land y\in T \land x\leq_T y</math> ；
* <math>x\in S \land y\in T</math> 。
则 <math>(S\sqcup T, \leq)</math> 也是一个良序集，良序 <math>\leq</math> 称为良序 <math>\leq_S,\leq_T</math> 的'''和'''('''sum''')，其序型称为序型 <math>\alpha,\beta</math> 的'''和'''('''sum''')，记作 <math>\alpha+\beta</math> 。这一运算称为序型的'''加法'''('''addition''')。

注：可以直观地进行几何解释：将两个良序集按顺序放置，并将 <math>T</math> 中元素按顺序接在 <math>S</math> 中全体元素之后。

=== 公理化定义 ===

对序数 <math>\alpha,\beta</math> ，通过对 <math>\beta</math> 的超限递推定义加法：
* <math>\alpha+0 = \alpha</math> ；
* 对后继序数 <math>S(\beta)</math> ， <math>\alpha+S(\beta) = S(\alpha+\beta)</math> ；
* 对极限序数 <math>\beta=\sup_{\delta<\beta} {\delta}</math> ， <math>\alpha+\beta = \sup_{\delta<\beta}(\alpha+\delta)</math> 。

== 性质 ==

* [[幺半群]]
** 不满足[[交换律]]。
*** 举例： <math>\omega+2</math> 表示 <math>0<1<2<\cdots<0'<1'</math> ， <math>2+\omega</math> 表示 <math>0'<1'<0<1<2<\cdots</math> ，这两个不是同样的序，后者和自然数集上的序结构相同。
** 满足[[结合律]]。 <math>(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)</math> 。
** 有[[幺元]]。 <math>0+\alpha = \alpha+0 = \alpha</math> 。
* 满足左[[消去律]]。 <math>\alpha+\beta = \alpha+\gamma \rightarrow \beta=\gamma</math> 。
* 对右操作数严格[[单调]]递增： <math>\beta<\gamma \rightarrow \alpha+\beta<\alpha+\gamma</math> 。
* 对左操作数非严格单调递增： <math>\beta<\gamma \rightarrow \beta+\alpha\leq\gamma+\alpha</math> 。
* 向小序数后加更大的极限序数时，有时表现为[[吸收律]]。
** 条件是在 <math>\alpha+\beta = \sup_{\delta<\beta}(\alpha+\delta)</math> 中 <math>\alpha+\delta</math> 和 <math>\delta</math> 本身组成的集合可能有相同上界。
** 比如 <math>1+\omega=\omega</math> ，其中 <math>1+n,n\in\mathbb{N}</math> 本身和 <math>\mathbb{N}</math> 只差头部一个元素 0 ，其他元素对应相同。类似地， <math>\omega+\omega^2=\omega\cdot(1+\omega)=\omega^2</math> 。但 <math>\omega+\omega\cdot 2=\omega\cdot 3</math> 不会有这种情况。

== 序型加法 ==

类似操作对[[偏序]]和[[全序]]也有效，因此可以一直延拓到偏序上。对应偏序的[[序型]]，对应运算称为序型的'''加法'''('''addition''')。