加法（序数）
| 加法 | |
|---|---|
| 术语名称 | 加法 |
| 英语名称 | addition |
| 和 | |
|---|---|
| 术语名称 | 和 |
| 英语名称 | sum |
两个良序前后“串联”，即保持每个良序集内部结构，并定义后一良序集中任意元素大于前一良序集中任意元素，结果仍是良序，这一运算称为良序的加法(addition)。序数的加法(addition)指对两个序数，连接这两个序数的良序集得到的新良序集的序数。
定义
序意义
| 加法 | |
|---|---|
| 运算名称 | 加法 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ + }[/math] |
| Latex | +
|
| 运算对象 | 序数 |
| 运算元数 | 2 |
| 运算结果 | 序数 |
| 结构 | 幺半群
|
对序数为 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] 的两个良序集 [math]\displaystyle{ (S, \leq_S), (T, \leq_T) }[/math] ，有笛卡尔积 [math]\displaystyle{ S\times\{0\}\cup T\times\{1\} }[/math] 上的反向字典序，即 [math]\displaystyle{ (x,i) \leq (y,j) \leftrightarrow i\lt j \lor (i=j \land x\leq y) }[/math] 也是一个良序，称为良序 [math]\displaystyle{ \leq_S,\leq_T }[/math] 的和(sum)，其序数称为序数 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] 的和(sum)，记作 [math]\displaystyle{ \alpha+\beta }[/math] 。这一运算称为序数的加法(addition)。
等价定义
对序数为 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] 的两个良序集 [math]\displaystyle{ (S, \leq_S), (T, \leq_T) }[/math] ，有不交并 [math]\displaystyle{ S\sqcup T }[/math] 上的良序 [math]\displaystyle{ x \leq y }[/math] ， [math]\displaystyle{ x\leq y }[/math] 当且仅当满足以下条件之一：
- [math]\displaystyle{ x\in S \land y\in S \land x\leq_S y }[/math] ；
- [math]\displaystyle{ x\in T \land y\in T \land x\leq_T y }[/math] ；
- [math]\displaystyle{ x\in S \land y\in T }[/math] 。
则 [math]\displaystyle{ (S\sqcup T, \leq) }[/math] 也是一个良序集，良序 [math]\displaystyle{ \leq }[/math] 称为良序 [math]\displaystyle{ \leq_S,\leq_T }[/math] 的和(sum)，其序数称为序数 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] 的和(sum)，记作 [math]\displaystyle{ \alpha+\beta }[/math] 。这一运算称为序数的加法(addition)。
注：可以直观地进行几何解释：将两个良序集按顺序放置，并将 [math]\displaystyle{ T }[/math] 中元素按顺序接在 [math]\displaystyle{ S }[/math] 中全体元素之后。
公理化定义
对序数 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] ，通过对 [math]\displaystyle{ \beta }[/math] 的超限递推定义加法：
- [math]\displaystyle{ \alpha+0 = \alpha }[/math] ；
- 对后继序数 [math]\displaystyle{ S(\beta) }[/math] ， [math]\displaystyle{ \alpha+S(\beta) = S(\alpha+\beta) }[/math] ；
- 对极限序数 [math]\displaystyle{ \beta=\sup_{\delta\lt \beta} {\delta} }[/math] ， [math]\displaystyle{ \alpha+\beta = \sup_{\delta\lt \beta}(\alpha+\delta) }[/math] 。
性质
- 幺半群
- 不满足交换律。
- 举例： [math]\displaystyle{ \omega+2 }[/math] 表示 [math]\displaystyle{ 0\lt 1\lt 2\lt \cdots\lt 0'\lt 1' }[/math] ， [math]\displaystyle{ 2+\omega }[/math] 表示 [math]\displaystyle{ 0'\lt 1'\lt 0\lt 1\lt 2\lt \cdots }[/math] ，这两个不是同样的序，后者和自然数集上的序结构相同。
- 满足结合律。 [math]\displaystyle{ (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma) }[/math] 。
- 有幺元。 [math]\displaystyle{ 0+\alpha = \alpha+0 = \alpha }[/math] 。
- 不满足交换律。
- 满足左消去律。 [math]\displaystyle{ \alpha+\beta = \alpha+\gamma \rightarrow \beta=\gamma }[/math] 。
- 对右操作数严格单调递增： [math]\displaystyle{ \beta\lt \gamma \rightarrow \alpha+\beta\lt \alpha+\gamma }[/math] 。
- 对左操作数非严格单调递增： [math]\displaystyle{ \beta\lt \gamma \rightarrow \beta+\alpha\leq\gamma+\alpha }[/math] 。
- 当右侧操作数比左侧大很多，跨越加性不可分解序数时， [math]\displaystyle{ \alpha+\beta=\beta }[/math] 。
序型加法
类似操作对偏序和全序也有效，因此可以一直延拓到偏序上。对应偏序的序型，对应运算称为序型的加法(addition)。
| 序数 | ||
|---|---|---|
| 构造 | 0 、后继序数、极限序数 | |
| 分类 | 有限序数（自然数）、可数序数、不可数序数；初始序数 | |
| 运算 | 名称 | 不可分解点或不动点 |
| 后继、上确界 | - | |
| 加法 [math]\displaystyle{ + }[/math] | 加性不可分解序数 / [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] 数 | |
| 乘法 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] | 乘性不可分解序数 / [math]\displaystyle{ \delta }[/math] 数 | |
| 乘方 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math] | [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] 数 | |
| 更高阶运算 | [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] 数、 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 数…… | |