查看“︁乘法（序数）”︁的源代码

[[分类:序数理论]]{{DEFAULTSORT:cheng2fa3}}
{{#seo:
|keywords=序数乘法, 序数积, 良序的积, 序型乘法
|description=本文介绍序数乘法的定义、性质和应用，包括通过良序集笛卡尔积和超限递归两种定义方式，以及序数乘法的结合律、分配律、非交换性等基本性质。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2025-10-30
}}
{{InfoBox
|name=乘法
|eng_name=multiplication
}}
{{InfoBox
|name=积
|eng_name=product
}}
两个[[良序集]]在[[笛卡尔积]]上建立反向字典序，结果仍是良序，这一运算称为良序的'''乘法'''('''multiplication''')。[[序数]]的'''乘法'''('''multiplication''')指对两个序数，这两个序数的良序集笛卡尔积上字典序构成新良序集的序数。

== 定义 ==

=== 序意义 ===

对序数为 <math>\alpha,\beta</math> 的两个良序集 <math>(S, \leq_S), (T, \leq_T)</math> ，有[[笛卡尔积]] <math>S\times T</math> 上的[[反向字典序]]，即 <math>(s_1,t_1) \leq (s_2,t_2) \leftrightarrow t_1<t_2 \lor (t_1=t_2 \land s_1\leq s_2)</math> 也是一个良序，称为良序 <math>\leq_S,\leq_T</math> 的'''积'''('''product''')，其序数称为序数 <math>\alpha,\beta</math> 的'''积'''('''product''')，记作 <math>\alpha\cdot\beta</math> 。这一运算称为序数的'''乘法'''('''multiplication''')。

注：序数乘法可以看成加法的不断重复。序数乘法可以直观地理解为良序集的“重复串联”：
* 将第一个良序集复制多次，次数由第二个序数决定
* 将这些副本按顺序排列
* 在每个副本内部保持原有顺序
* 规定后续副本中的所有元素都大于前面副本的所有元素

=== 公理化定义 ===

对序数 <math>\alpha,\beta</math> ，通过对 <math>\beta</math> 的超限递推定义乘法：
* <math>\alpha\cdot0 = 0</math> ；
* 对后继序数 <math>S(\beta)</math> ， <math>\alpha\cdot S(\beta) = (\alpha\cdot\beta)+\alpha</math> ；
* 对极限序数 <math>\beta=\sup_{\delta<\beta} {\delta}</math> ， <math>\alpha\cdot\beta = \sup_{\delta<\beta}(\alpha\cdot\delta)</math> 。

== 性质 ==

* [[幺半群]]
** 不满足[[交换律]]。
*** 举例： <math>\omega\cdot 2</math> 表示 <math>\omega+\omega</math> ，即 <math>0<1<2<\cdots<0'<1'<2'<\cdots</math> ，而 <math>2\cdot\omega</math> 表示 <math>2+2+2+\cdots</math> ，即 <math>0<0'<1<1'<2<2'<\cdots</math> ，这两个不是同样的序，后者和自然数集上的序结构相同。
** 满足[[结合律]]。 <math>(\alpha\cdot\beta)\cdot\gamma = \alpha\cdot(\beta\cdot\gamma)</math> 。
** 有[[幺元]]。 <math>1\cdot\alpha = \alpha\cdot 1 = \alpha</math> 。
* 对加法满足左[[分配律]]。 <math>\alpha\cdot(\beta+\gamma)=\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\gamma</math> 。
* 无[[零因子]]。 <math>\alpha\cdot\beta=0\rightarrow \alpha=0\lor\beta=0</math> 。
** 有左带余除法。 <math>(\forall\alpha)(\forall\beta>0)(\exists! \gamma,\delta)(\alpha=\beta\cdot\gamma+\delta \land \delta<\beta)</math> 。
* 满足左[[消去律]]。 <math>\alpha\cdot\beta = \alpha\cdot\gamma \rightarrow \beta=\gamma</math> 。
* 当右侧操作数比左侧大很多，跨越[[乘性不可分解序数]]时， <math>\alpha\cdot\beta=\beta</math> 。

== 序型乘法 ==

类似操作对[[偏序]]和[[全序]]也有效，因此可以一直延拓到偏序上。对应偏序的[[序型]]，对应运算称为序型的'''乘法'''('''multiplication''')。


{{序数}}