乘法（序数）
| 乘法 | |
|---|---|
| 术语名称 | 乘法 |
| 英语名称 | multiplication |
| 积 | |
|---|---|
| 术语名称 | 积 |
| 英语名称 | product |
两个良序集在笛卡尔积上建立反向字典序，结果仍是良序，这一运算称为良序的乘法(multiplication)。序数的乘法(multiplication)指对两个序数，这两个序数的良序集笛卡尔积上字典序构成新良序集的序数。
定义
序意义
| 乘法 | |
|---|---|
| 运算名称 | 乘法 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] |
| Latex | \cdot
|
| 运算对象 | 序数 |
| 运算元数 | 2 |
| 运算结果 | 序数 |
| 结构 | 幺半群
|
对序数为 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] 的两个良序集 [math]\displaystyle{ (S, \leq_S), (T, \leq_T) }[/math] ，有笛卡尔积 [math]\displaystyle{ S\times T }[/math] 上的反向字典序，即 [math]\displaystyle{ (s_1,t_1) \leq (s_2,t_2) \leftrightarrow t_1\lt t_2 \lor (t_1=t_2 \land s_1\leq s_2) }[/math] 也是一个良序，称为良序 [math]\displaystyle{ \leq_S,\leq_T }[/math] 的积(product)，其序数称为序数 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] 的积(product)，记作 [math]\displaystyle{ \alpha\cdot\beta }[/math] 。这一运算称为序数的乘法(multiplication)。
注：序数乘法可以看成加法的不断重复。序数乘法可以直观地理解为良序集的“重复串联”：
- 将第一个良序集复制多次，次数由第二个序数决定
- 将这些副本按顺序排列
- 在每个副本内部保持原有顺序
- 规定后续副本中的所有元素都大于前面副本的所有元素
公理化定义
对序数 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] ，通过对 [math]\displaystyle{ \beta }[/math] 的超限递推定义乘法：
- [math]\displaystyle{ \alpha\cdot0 = 0 }[/math] ；
- 对后继序数 [math]\displaystyle{ S(\beta) }[/math] ， [math]\displaystyle{ \alpha\cdot S(\beta) = (\alpha\cdot\beta)+\alpha }[/math] ；
- 对极限序数 [math]\displaystyle{ \beta=\sup_{\delta\lt \beta} {\delta} }[/math] ， [math]\displaystyle{ \alpha\cdot\beta = \sup_{\delta\lt \beta}(\alpha\cdot\delta) }[/math] 。
性质
- 幺半群
- 不满足交换律。
- 举例： [math]\displaystyle{ \omega\cdot 2 }[/math] 表示 [math]\displaystyle{ \omega+\omega }[/math] ，即 [math]\displaystyle{ 0\lt 1\lt 2\lt \cdots\lt 0'\lt 1'\lt 2'\lt \cdots }[/math] ，而 [math]\displaystyle{ 2\cdot\omega }[/math] 表示 [math]\displaystyle{ 2+2+2+\cdots }[/math] ，即 [math]\displaystyle{ 0\lt 0'\lt 1\lt 1'\lt 2\lt 2'\lt \cdots }[/math] ，这两个不是同样的序，后者和自然数集上的序结构相同。
- 满足结合律。 [math]\displaystyle{ (\alpha\cdot\beta)\cdot\gamma = \alpha\cdot(\beta\cdot\gamma) }[/math] 。
- 有幺元。 [math]\displaystyle{ 1\cdot\alpha = \alpha\cdot 1 = \alpha }[/math] 。
- 不满足交换律。
- 对加法满足左分配律。 [math]\displaystyle{ \alpha\cdot(\beta+\gamma)=\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\gamma }[/math] 。
- 无零因子。 [math]\displaystyle{ \alpha\cdot\beta=0\rightarrow \alpha=0\lor\beta=0 }[/math] 。
- 有左带余除法。 [math]\displaystyle{ (\forall\alpha)(\forall\beta\gt 0)(\exists! \gamma,\delta)(\alpha=\beta\cdot\gamma+\delta \land \delta\lt \beta) }[/math] 。
- 满足左消去律。 [math]\displaystyle{ \alpha\cdot\beta = \alpha\cdot\gamma \rightarrow \beta=\gamma }[/math] 。
- 当右侧操作数比左侧大很多，跨越乘性不可分解序数时， [math]\displaystyle{ \alpha\cdot\beta=\beta }[/math] 。
序型乘法
类似操作对偏序和全序也有效，因此可以一直延拓到偏序上。对应偏序的序型，对应运算称为序型的乘法(multiplication)。
| 序数 | ||
|---|---|---|
| 构造 | 0 、后继序数、极限序数 | |
| 分类 | 有限序数（自然数）、可数序数、不可数序数；初始序数 | |
| 运算 | 名称 | 不可分解点或不动点 |
| 后继、上确界 | - | |
| 加法 [math]\displaystyle{ + }[/math] | 加性不可分解序数 / [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] 数 | |
| 乘法 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] | 乘性不可分解序数 / [math]\displaystyle{ \delta }[/math] 数 | |
| 乘方 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math] | [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] 数 | |
| 更高阶运算 | [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] 数、 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 数…… | |