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[[分类:序数理论]]{{DEFAULTSORT:cheng2fang1}}
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|keywords=序数乘方, 序数乘方, 序型乘方
|description=本文介绍序数乘方的定义、性质和应用，包括通过良序集映射的集合和超限递归两种定义方式，以及序数乘方的结合律、分配律、非交换性等基本性质。
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|published_time=2025-10-30
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{{InfoBox
|name=乘方
|eng_name=exponentiation
}}
{{InfoBox
|name=幂
|eng_name=exponential form
}}
两个[[良序集]]在[[映射的集合]]上建立反向字典序，结果仍是良序，这一运算称为良序的'''乘方'''('''exponentiation''')。[[序数]]的'''乘方'''('''multiplication''')指对两个序数，这两个序数的良序集之间映射的集合上字典序构成新良序集的序数。

== 定义 ==

=== 序意义 ===

{{Operation
|name=乘方
|symbol=<math>\bullet^\bullet</math>
|latex=^
|operand=序数
|result=序数
}}
对序数为 <math>\alpha,\beta</math> 的两个良序集 <math>(S, \leq_S), (T, \leq_T)</math> ，有[[映射的集合]] <math>S^T</math> 上的[[反向字典序]]，元素为映射 <math>f: T\to S</math> ，映射间按照 <math>f<g</math> 当且仅当 <math>(\exists t\in T) (f(t) < g(t) \land (\forall t'\in T)(t < t' \rightarrow f(t') = g(t'))</math> 也是一个良序，称为良序 <math>\leq_S,\leq_T</math> 的'''幂'''('''product''')，其序数称为序数 <math>\alpha</math> 的 <math>\beta</math> 次'''幂'''('''power''')，记作 <math>\alpha^\beta</math> 。这一运算称为序数的'''乘方'''('''exponentiation''')。

注：序数乘方可以看成乘法的不断重复。

=== 公理化定义 ===

对序数 <math>\alpha,\beta</math> ，通过对 <math>\beta</math> 的超限递推定义乘法：
* <math>\alpha^0 = 1</math> ；
* 对后继序数 <math>S(\beta)</math> ， <math>\alpha^{S(\beta)} = (\alpha^\beta)\cdot\alpha</math> ；
* 对极限序数 <math>\beta=\sup_{\delta<\beta} {\delta}</math> ， <math>\alpha^\beta = \sup_{\delta<\beta}(\alpha^\delta)</math> 。

== 性质 ==

* 不满足[[交换律]]。
* 不满足[[结合律]]。 <math>(\alpha\cdot\beta)\cdot\gamma = \alpha\cdot(\beta\cdot\gamma)</math> 。
** 有[[幺元]]。 <math>1^\alpha = \alpha^1 = \alpha</math> 。
* 乘方的一般性质
** <math>\alpha^\beta \cdot \alpha^\gamma = \alpha^{\beta+\gamma}</math> ；
** <math>(\alpha^\beta)^\gamma = \alpha^{\beta\cdot\gamma}</math> ；
** 序数的乘法不满足交换律，因此序数乘方也不满足 <math>(\alpha\cdot\beta)^\gamma = \alpha^\gamma \cdot \beta^\gamma</math> 。
* <math>\alpha^\beta=\alpha^\gamma \rightarrow \beta=\gamma\lor\alpha=0\lor\alpha=1</math> 。
** <math>(\forall\alpha>0)(\forall\beta>1)(\exists! \gamma,\delta,\rho)(\alpha=\beta^\gamma\cdot\delta +\delta \land 0<\delta<\beta \land \rho<\beta^\gamma)</math> 。

== 序型乘方 ==

类似操作对[[偏序]]和[[全序]]也有效，因此可以一直延拓到偏序上。对应偏序的[[序型]]，对应运算称为序型的'''乘方'''('''exponentiation''')。


{{序数}}