乘方（序数）
| 乘方 | |
|---|---|
| 术语名称 | 乘方 |
| 英语名称 | exponentiation |
| 幂 | |
|---|---|
| 术语名称 | 幂 |
| 英语名称 | exponential form |
两个良序集在映射的集合上建立反向字典序，结果仍是良序，这一运算称为良序的乘方(exponentiation)。序数的乘方(multiplication)指对两个序数，这两个序数的良序集之间映射的集合上字典序构成新良序集的序数。
定义
序意义
| 乘方 | |
|---|---|
| 运算名称 | 乘方 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math] |
| Latex | ^
|
| 运算对象 | 序数 |
| 运算元数 | 2 |
| 运算结果 | 序数
|
对序数为 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] 的两个良序集 [math]\displaystyle{ (S, \leq_S), (T, \leq_T) }[/math] ，有映射的集合 [math]\displaystyle{ S^T }[/math] 上的反向字典序，元素为映射 [math]\displaystyle{ f: T\to S }[/math] ，映射间按照 [math]\displaystyle{ f\lt g }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ (\exists t\in T) (f(t) \lt g(t) \land (\forall t'\in T)(t \lt t' \rightarrow f(t') = g(t')) }[/math] 也是一个良序，称为良序 [math]\displaystyle{ \leq_S,\leq_T }[/math] 的幂(product)，其序数称为序数 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 的 [math]\displaystyle{ \beta }[/math] 次幂(power)，记作 [math]\displaystyle{ \alpha^\beta }[/math] 。这一运算称为序数的乘方(exponentiation)。
注：序数乘方可以看成乘法的不断重复。
公理化定义
对序数 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] ，通过对 [math]\displaystyle{ \beta }[/math] 的超限递推定义乘法：
- [math]\displaystyle{ \alpha^0 = 1 }[/math] ；
- 对后继序数 [math]\displaystyle{ S(\beta) }[/math] ， [math]\displaystyle{ \alpha^{S(\beta)} = (\alpha^\beta)\cdot\alpha }[/math] ；
- 对极限序数 [math]\displaystyle{ \beta=\sup_{\delta\lt \beta} {\delta} }[/math] ， [math]\displaystyle{ \alpha^\beta = \sup_{\delta\lt \beta}(\alpha^\delta) }[/math] 。
性质
- 不满足交换律。
- 不满足结合律。 [math]\displaystyle{ (\alpha\cdot\beta)\cdot\gamma = \alpha\cdot(\beta\cdot\gamma) }[/math] 。
- 有幺元。 [math]\displaystyle{ 1^\alpha = \alpha^1 = \alpha }[/math] 。
- 乘方的一般性质
- [math]\displaystyle{ \alpha^\beta \cdot \alpha^\gamma = \alpha^{\beta+\gamma} }[/math] ；
- [math]\displaystyle{ (\alpha^\beta)^\gamma = \alpha^{\beta\cdot\gamma} }[/math] ；
- 序数的乘法不满足交换律，因此序数乘方也不满足 [math]\displaystyle{ (\alpha\cdot\beta)^\gamma = \alpha^\gamma \cdot \beta^\gamma }[/math] 。
- [math]\displaystyle{ \alpha^\beta=\alpha^\gamma \rightarrow \beta=\gamma\lor\alpha=0\lor\alpha=1 }[/math] 。
- 带余除法推论，最高次项表示 [math]\displaystyle{ (\forall\alpha\gt 0)(\forall\beta\gt 1)(\exists! \gamma,\delta,\rho)(\alpha=\beta^\gamma\cdot\delta +\rho\land 0\lt \delta\lt \beta \land \rho\lt \beta^\gamma) }[/math] 。
- 可以推出 Cantor 标准型的唯一性。
- 带余除法推论，最高次项表示 [math]\displaystyle{ (\forall\alpha\gt 0)(\forall\beta\gt 1)(\exists! \gamma,\delta,\rho)(\alpha=\beta^\gamma\cdot\delta +\rho\land 0\lt \delta\lt \beta \land \rho\lt \beta^\gamma) }[/math] 。
序型乘方
类似操作对偏序和全序也有效，因此可以一直延拓到偏序上。对应偏序的序型，对应运算称为序型的乘方(exponentiation)。
| 序数 | ||
|---|---|---|
| 构造 | 0 、后继序数、极限序数 | |
| 分类 | 有限序数（自然数）、可数序数、不可数序数；初始序数 | |
| 运算 | 名称 | 不可分解点或不动点 |
| 后继、上确界 | - | |
| 加法 [math]\displaystyle{ + }[/math] | 加性不可分解序数 / [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] 数 | |
| 乘法 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] | 乘性不可分解序数 / [math]\displaystyle{ \delta }[/math] 数 | |
| 乘方 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math] | [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] 数 | |
| 更高阶运算 | [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] 数、 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 数…… | |