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[[分类:序数理论]]{{DEFAULTSORT:epsilon shu4}}
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|keywords=ε数
|description=本文描述了ε数的定义和性质，讲解了其在序数运算法中的特殊作用。
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|name=艾普西隆数
|eng_name=epsilon number
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'''ε 数'''('''additively indecomposable ordinal''')是一类在[[序数]][[乘方（序数）|乘方]]下具有特殊性质的序数，它们是乘方映射的不动点。这意味着任何更小序数都不可能只通过加法、乘法、'''有限次'''乘方跨越这一屏障，这些屏障将序数分为不同的层级。更小的序数无法通过简单的运算影响这一序数。

== 定义 ==

对非零序数 <math>\alpha</math> ，满足方程 <math>\varepsilon=\omega^\epsilon</math> ，称 <math>\varepsilon</math> 是一个 '''ε 数'''('''epsilon numbers''')。

注：加性不可分解序数、乘性不可分解序数的性质中也有 <math>\alpha+\gamma=\gamma</math> 和 <math>\alpha\cdot\delta=\delta</math> ，可以认为是同一条性质的继续扩展。反过来说，也可以用有限次乘方无法到达 <math>^\omega \omega = \omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}}</math> 来定义'''乘方不可分解序数'''。

== 特征 ==

通过定义，结合公理化可知满足以下的超限递推关系：
* <math>\varepsilon_0 = \sup\{1,\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega}\}</math> 。
* 对后继序数 <math>S(\beta)</math> ，有 <math>\varepsilon_{S(\beta)} = \sup\{1,\varepsilon_\beta,\varepsilon_\beta^{\varepsilon_\beta}, \dots\} = \sup\{\varepsilon_\beta+1, \omega^{\varepsilon_\beta+1},\omega^{\omega^{\varepsilon_\beta+1}}, \dots\}</math> 。
* 对极限序数 <math>\beta=\sup_{\delta<\beta} \delta</math> ，有 <math>\varepsilon_\beta=\sup_{\delta<\beta} \varepsilon_\delta</math> 。

== 性质 ==

* 所有 <math>\varepsilon</math> 数都是[[加性不可分解序数]]和[[乘性不可分解序数]]，满足单侧吸收律。
* <math>\varepsilon</math> 数对以更小的序数为底的幂运算满足乘方的单侧[[吸收律]]。对 <math>\varepsilon_\alpha</math> ， <math>\beta < \varepsilon_\alpha</math>  ，则 <math>\beta^{\varepsilon_\alpha}<\varepsilon_\alpha</math> 。
** 比如 <math>\omega^{\varepsilon_0}=\varepsilon_0</math> （可据定义得出）。


{{序数}}