Ε 数
| 艾普西隆数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 艾普西隆数 |
| 英语名称 | epsilon number |
由于技术原因，标题首字母会被大写。这一术语通常应当以小写字母开头。
ε 数(additively indecomposable ordinal)是一类在序数乘方下具有特殊性质的序数，它们是乘方映射的不动点。这意味着任何更小序数都不可能只通过加法、乘法、有限次乘方跨越这一屏障，这些屏障将序数分为不同的层级。更小的序数无法通过简单的运算影响这一序数。
定义
对非零序数 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] ，满足方程 [math]\displaystyle{ \varepsilon=\omega^\epsilon }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] 是一个 ε 数(epsilon number)。
注：加性不可分解序数、乘性不可分解序数的性质中也有 [math]\displaystyle{ \alpha+\gamma=\gamma }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \alpha\cdot\delta=\delta }[/math] ，可以认为是同一条性质的继续扩展。反过来说，也可以用有限次乘方无法到达 [math]\displaystyle{ ^\omega \omega = \omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}} }[/math] 来定义乘方不可分解序数。
特征
通过定义，结合公理化可知满足以下的超限递推关系：
- [math]\displaystyle{ \varepsilon_0 = \sup\{1,\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega}\} }[/math] 。
- 对后继序数 [math]\displaystyle{ S(\beta) }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ \varepsilon_{S(\beta)} = \sup\{1,\varepsilon_\beta,\varepsilon_\beta^{\varepsilon_\beta}, \dots\} = \sup\{\varepsilon_\beta+1, \omega^{\varepsilon_\beta+1},\omega^{\omega^{\varepsilon_\beta+1}}, \dots\} }[/math] 。
- 对极限序数 [math]\displaystyle{ \beta=\sup_{\delta\lt \beta} \delta }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ \varepsilon_\beta=\sup_{\delta\lt \beta} \varepsilon_\delta }[/math] 。
性质
- 所有 [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] 数都是加性不可分解序数和乘性不可分解序数，满足单侧吸收律。
- [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] 数对以更小的序数为底的幂运算满足乘方的单侧吸收律。对 [math]\displaystyle{ \varepsilon_\alpha }[/math] ， [math]\displaystyle{ \beta \lt \varepsilon_\alpha }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ \beta^{\varepsilon_\alpha}\lt \varepsilon_\alpha }[/math] 。
- 比如 [math]\displaystyle{ \omega^{\varepsilon_0}=\varepsilon_0 }[/math] （可据定义得出）。
| 序数 | ||
|---|---|---|
| 构造 | 0 、后继序数、极限序数 | |
| 分类 | 有限序数（自然数）、可数序数、不可数序数；初始序数 | |
| 名称 | 不可分解点或不动点 | |
| 基本运算 | 后继、上确界 | - |
| 算术运算 | 加法 [math]\displaystyle{ + }[/math] | 加性不可分解序数 / [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] 数 |
| 乘法 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] | 乘性不可分解序数 / [math]\displaystyle{ \delta }[/math] 数 | |
| 乘方 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math] | [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] 数 | |
| 更高阶运算 | [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] 数、 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 数…… | |
| 其他运算 | Cantor 标准型 | - |