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[[分类:命题逻辑]]{{DEFAULTSORT:deng3zhi2}}
{{#seo:
|keywords=等值, 等价, 重言等值, 重言等价, 等值公式
|description=等值（逻辑等价）是命题逻辑中的基本概念，指两个命题公式在任意真值赋值下都具有相同的真假值。等值关系是等价关系，且两公式等值当且仅当它们具有相同的真值表，亦当且仅当它们的双条件命题为永真式。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2023-06-18
}}
{{InfoBox
|name=等值
|eng_name=equivalence
|aliases=等价,重言等值,重言等价,tautological equivalence,逻辑等值,逻辑等价,logical equivalence,logical biconditional
}}
'''等值'''('''equivalence''')或'''重言等值'''、'''重言等价'''('''tautological equivalence''')指两个[[命题公式]]在任意[[指派（命题逻辑）|指派]]下的[[真值]]都对应相同。
换句话说，两个命题公式等值当且仅当它们具有相同[[真值表]]。

重言等价是[[逻辑等价]]在命题逻辑中的简化形式，故有时也称为逻辑等价。

形式语言层级上，重言等价涉及对命题真假的判断，是元语言中的谓词，连接两个对象命题公式；与属于对象语言的[[等价]]逻辑联结词不同。

== 定义 ==

{{Relation
|name=等值
|symbol=<math>=</math>,<math>\Leftrightarrow</math>,<math>\equiv</math>
|latex==,\Leftrightarrow,\equiv
|operand_relation=命题公式
|prototype=等价关系
}}
对两个命题公式 <math>A</math> 和 <math>B</math> ，其中成员命题变元均为 <math>P_1,P_2,\dots,P_n</math> ，则两个命题公式存在 <math>2^n</math> 个不同指派。
若这 <math>2^n</math> 个指派下，公式 <math>A</math> 和 <math>B</math> 的真值都对应相同，则称命题公式 <math>A</math> 和 <math>B</math> '''等值'''/'''等价'''('''equivalent''')或'''重言等价'''('''tautologically equivalent''')，或称命题公式 <math>A</math> 和 <math>B</math> 是'''等值公式'''('''equivalent formula'''s)，记作 <math>A=B</math> 或 <math>A \Leftrightarrow B</math> 、 <math>A \equiv B</math> 。

注：一般为了避免与等式中的等词 <math>=</math> 混淆、避免与部分材料中用 <math>\equiv</math> 代替[[等价（逻辑）|等价]] <math>\leftrightarrow</math> 的用法混淆，标准场景大多使用符号 <math>\Leftrightarrow</math> 。本 wiki 为输入方便以及与代数系统等领域的主题保持一致，在不引起歧义的情况下均使用 <math>=</math> 。

== 性质 ==

* 两命题公式等值，当且仅当两命题公式有相同的真值表。
** 两命题公式重言等价，当且仅当两命题公式互相[[重言蕴含]]。
** 等值定理：两命题公式 <math>A</math> 和 <math>B</math> 等值，当且仅当[[双条件命题]] <math>A \leftrightarrow B</math> 为[[永真式]]。
* 等值关系是一种等价关系：
** 自反性：任意命题公式与自身等值。
** 对称性：任意命题公式 <math>A</math> 和 <math>B</math> ，若 <math>A=B</math> 则 <math>B=A</math> 。
** 传递性：任意命题公式 <math>A</math> 、 <math>B</math> 、 <math>C</math> ，若 <math>A=B</math> 且 <math>B=C</math> 则 <math>A=C</math> 。

== 常见等值律 ==
单独分类：[[:分类:命题逻辑常见结论]]

其中， <math>P,Q,R</math> 为命题变元， <math>\mathrm{T},\mathrm{F}</math> 为真值常量[[真]]和[[假]]。

* 幺元律 <math>P\land\mathrm{T}=P,P\lor\mathrm{F}=P</math> ；
* 支配律 <math>P\land\mathrm{F}=\mathrm{F},P\lor\mathrm{T}=\mathrm{T}</math> ；
* 幂等律、重言律 <math>P\land P=P,P\lor P = P</math> ；
* [[双重否定式|双重否定律]] <math>\lnot\lnot P = P</math> ；
* [[交换律]] <math>P\land Q=Q\land P, P\lor Q=Q\lor P</math> ；
* [[结合律]] <math>(P\land Q)\land R=P\land(Q\land R),(P\lor Q)\lor R=P\lor(Q\lor R)</math> ；
* [[分配律]] <math>P\land(Q\lor R)=(P\land Q)\lor(P\land R),P\lor(Q\land R)=(P\lor Q)\land(P\lor R)</math> ，由交换律对另一侧也成立；
* [[德·摩根律]] <math>\lnot(P\land Q) = \lnot P \lor \lnot Q, \lnot(P\lor Q) = \lnot P \land \lnot Q</math> ；
* [[吸收律]] <math>P\land(P\lor Q)=P,P\lor(P\land Q)=P</math> ，由交换律对另一侧也成立；
* 否定律 <math>P\lor\lnot P=\mathrm{T}</math> （[[排中律]]）、 <math>P\land\lnot P=\mathrm{F}</math> （[[矛盾律]]）。


{{命题逻辑}}