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[[分类:命题逻辑]]{{DEFAULTSORT:yun4han2}}
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|keywords=蕴含, 实质蕴含, 前件, 后件
|description=本文介绍蕴含的定义、性质与表示方法，包括蕴含作为二元逻辑联结词的概念，其真值表定义，及其在经典逻辑中的运算性质。
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|published_time=2023-08-06
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|name=蕴含
|eng_name=implication
|aliases=实质蕴含,material implication,实质条件,material conditional
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|name=蕴含式
|eng_name=implicative formula
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|name=前件
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|aliases=条件,protasis
}}
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|name=后件
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|aliases=结论,apodosis
}}
'''蕴含'''('''implication''')是二元[[逻辑联结词]]，表示“如果前者（称为前件）为[[真]]，则后者（称为后件）必须为真”所对应的命题。

== 定义 ==

{{Operation
|name=蕴含
|symbol=<math>\rightarrow</math>
|latex=\rightarrow
|operand=命题公式
|result=命题公式
}}
对命题 <math>P</math> 、 <math>Q</math> ，记命题 <math>R</math> 满足：
* 仅当 <math>P</math> 为真同时 <math>Q</math> 为假时， <math>R</math> 为假；
* 若命题 <math>P</math> 为假， 命题 <math>R</math> 为真；
* 若命题 <math>Q</math> 为真， 命题 <math>R</math> 为真。
称这样的命题 <math>R</math> 为命题 <math>P</math> 、 <math>Q</math> 构成的'''假言命题'''('''hypothetical proposition''')或'''条件命题'''('''conditional proposition''')，记为 <math>P \rightarrow Q</math> ，读作'''<math>P</math> 推出 <math>Q</math>''' 或 '''<math>P</math> 蕴含 <math>Q</math>'''('''<math>P</math> implies <math>Q</math>''')。
其中逻辑联结词 <math>\rightarrow</math> 称为'''蕴含词'''， <math>P</math> 称为假言命题的'''前提'''或'''前件'''('''antecedent''')， <math>Q</math> 称为假言命题的'''结论'''或'''后件'''('''consequent''')。

蕴含的其他常见记号有 <math>P \supset Q</math> 和 <math>P\Rightarrow Q</math> <ref><math>P\Rightarrow Q</math> 和[[重言蕴含]]标准符号有冲突，不建议用。</ref>。

主联结词为蕴含词的公式称为'''蕴含式'''('''implicative formula''')或'''条件式'''('''conditional formula''')。

=== 真值表 ===

{| class="wikitable" style="text-align:center;border-width:2px;margin: 0 auto"
|+ <math>\rightarrow</math> 的真值表
|-
! scope="col" style="width:33%;border-bottom-width:2px" | <math>p</math>
! scope="col" style="width:33%;border-bottom-width:2px" | <math>q</math>
! scope="col" style="width:34%;border-bottom-width:2px" | <math>p \rightarrow q</math>
|-
| {{True}}
| {{True}}
| {{True}}
|-
| {{True}}
| {{False}}
| {{False}}
|-
| {{False}}
| {{True}}
| {{True}}
|-
| {{False}}
| {{False}}
| {{True}}
|}

== 性质 ==

* 等价表示
** 表达为[[否定]]、[[合取]]、[[析取]]的组合：对任意命题 <math>P</math> 和 <math>Q</math> ， <math>P\rightarrow Q = \lnot P \lor Q = \lnot(P\land \lnot Q)</math> 。
** 其否定 <math>\nrightarrow</math> 也有：对任意命题 <math>P</math> 和 <math>Q</math> ， <math>P\nrightarrow Q = P \land\lnot Q = \lnot(\lnot P\lor Q)</math> 。
* 运算性质
** [[逆否命题]]：对任意命题 <math>P</math> 和 <math>Q</math> ，有 <math>P \rightarrow Q = \lnot Q \rightarrow \lnot P</math> 。
** [[传递性]]：对任意命题 <math>P</math> 、 <math>Q</math> 和 <math>R</math> ，有 <math>(P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow R) \rightarrow (P\rightarrow R)</math> 。
** [[特殊值]]
*** <math>\mathrm{T} \rightarrow P = P</math> 。
*** <math>P \rightarrow \mathrm{T} = \mathrm{T}</math> 。
*** <math>\mathrm{F} \rightarrow P = \mathrm{T}</math> 。
*** <math>P \rightarrow \mathrm{F} = P</math> 。

== 不同逻辑系统中的蕴含 ==

以上为经典逻辑中的蕴含：蕴含是真值函数的，完全由真值表定义。
* 直觉主义逻辑中，蕴含与可证明性相关，也就是要求 <math>P\rightarrow Q</math> 为真当且仅当存在从 <math>P</math> 到 <math>Q</math> 的构造性证明，而不仅仅是符合真值表。
* 不承认某些经典逻辑中的蕴含相关定理。

== 多元情况 ==

蕴含词不具有结合性，二元运算不能直接定义出一个多元运算，一般不认为有哪个多元联结词是蕴含词的直接扩展。
一般多个蕴含词连用时，需要使用括号说明结合顺序。
若不说明，一般默认蕴含词是[[右结合]]的，即 <math>P\rightarrow Q\rightarrow R</math> 指的是 <math>P\rightarrow(Q\rightarrow R)</math> 。


{{命题逻辑}}
{{逻辑联结词}}