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[[分类:谓词逻辑]]{{DEFAULTSORT:jie2gou4}}
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|keywords=结构, 逻辑语义学
|description=本文介绍谓词逻辑中结构的定义、性质与应用，包括结构作为个体常项、函项、谓词符号对应到论域中个体及其关系的映射概念，其在谓词逻辑语义学中的作用。
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|published_time=2023-09-02
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{{InfoBox
|name=结构
|eng_name=structure
|aliases=解释,interpretation
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'''结构'''('''structure''')是对谓词公式或一个谓词语言中的[[非逻辑符号]]进行取值使用的数学对象，为语法上的公式或语言提供语义。
一个结构是一组映射，对一个抽象的谓词公式或语言，为其指定论域，并使其中所有[[个体词（谓词逻辑）|个体常项]]、[[函项]]、[[谓词]]指向论域上的具体个体对象及其关系、性质。

类似[[:分类:命题逻辑|命题逻辑]]中的指派和解释，[[闭式]]在结构中解释成命题，而包含自由变量的全部谓词公式则需要在[[赋值（命题逻辑）|赋值]]中解释成命题。

上述段落中，“解释”一词用于“为形式语言赋予语义的过程”的含义，见[[解释（谓词逻辑）]]。但结构有时也被称为'''解释'''('''interpretation''')；此外，使给定语句或语句集解释成的命题均为真的结构也称为'''模型'''('''model''')。

== 定义 ==

在谓词逻辑中，结构可通过两种等价方式定义。

=== 对特定公式的解释 ===

对谓词公式 <math>G</math> ，其'''结构'''('''structure''')或'''解释'''('''interpretation''') <math>\mathfrak{I}</math> ，包括：

* <math>D</math> 是非空集合，即'''论域'''('''domain of discourse''')或'''个体域'''('''individual domain''')；
* 将 <math>G</math> 中的每一个个体常项 <math>c</math> 映射到论域 <math>D</math> 中的元素；
* 将 <math>G</math> 中的每一个 <math>n</math> 元函项 <math>f</math> 映射到论域 <math>D</math> 上的 <math>n</math> 元映射；
* 将 <math>G</math> 中的每一个 <math>n</math> 元谓词 <math>P</math> 映射到论域 <math>D</math> 上的 <math>n</math> 元[[关系]]。

=== 对全体非逻辑符号的解释（Tarski 语义学） ===

对[[谓词语言]] <math>\mathcal{L}_1</math> ，有序对 <math>\mathfrak{I} = (D, I)</math> 被称为一个 '''<math>\mathcal{L}_1</math>-模型'''，也称为 '''<math>\mathcal{L}_1</math>-解释'''，其中：
* <math>D</math> 是非空集合，即'''论域'''('''domain of discourse''')或'''个体域'''('''individual domain''')；
* <math>I</math> 是一个映射，且
** 将 <math>\mathcal{L}_1</math>-语言中的每一个个体常项 <math>c</math> 映射到论域 <math>D</math> 中的元素 <math>I(c)</math>；
** 将 <math>\mathcal{L}_1</math>-语言中的每一个 <math>n</math> 元函项 <math>f</math> 映射到论域 <math>D</math> 上的 <math>n</math> 元映射 <math>I(f)</math>；
** 将 <math>\mathcal{L}_1</math>-语言中的每一个 <math>n</math> 元谓词 <math>P</math> 映射到论域 <math>D</math> 上的 <math>n</math> 元关系 <math>I(P)</math>。
也简称为'''模型'''('''model''')或'''解释'''('''interpretation''')。

注：
* 这两种定义本质等价：对特定公式的结构可以视为对全体个体常项的结构在相关常项上的限制。
* 一个指派本身不关注所关联的命题，它只是一个把命题变元映射到真值的映射本身。是携带了对应动作的结构。
* [[闭式]]在给定结构下可以判断真假，成为了一个命题。
* 解释 <math>\mathfrak{I}</math> 下的 <math>c, f, P</math> 的像也记作 <math>c^\mathfrak{I}, f^\mathfrak{I}, P^\mathfrak{I}</math> 。


{{谓词逻辑}}