结构（谓词逻辑）

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结构
术语名称 结构
英语名称 structure
别名 解释, interpretation

结构(structure)是对谓词公式或一个谓词语言中的非逻辑符号进行取值使用的数学对象，为语法上的公式或语言提供语义。 一个结构是一组映射，对一个抽象的谓词公式或语言，为其指定论域，并使其中所有个体常项、函项、谓词指向论域上的具体个体对象及其关系、性质。

类似命题逻辑中的指派和解释，闭式在结构中解释成命题，而包含自由变量的全部谓词公式则需要在赋值中解释成命题。

上述段落中，“解释”一词用于“为形式语言赋予语义的过程”的含义，见解释（谓词逻辑）。但结构有时也被称为解释(interpretation)；此外，使给定语句或语句集解释成的命题均为真的结构称为模型(model)，在不需要指定具体语句或语句集时，“模型”与“结构”往往可以混用。

定义

在谓词逻辑中，结构可通过两种等价方式定义。

对特定公式的解释

对谓词公式 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，其结构(structure)或解释(interpretation) [math]\displaystyle{ \mathfrak{I} }[/math] ，包括：

  • [math]\displaystyle{ D }[/math] 是非空集合，即论域(domain of discourse)或个体域(individual domain)；
  • 将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的每一个个体常项 [math]\displaystyle{ c }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 中的元素；
  • 将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的每一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元函项 [math]\displaystyle{ f }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元映射；
  • 将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的每一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元谓词 [math]\displaystyle{ P }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元关系。

对全体非逻辑符号的解释（Tarski 语义学）

对谓词语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math] ，有序对 [math]\displaystyle{ \mathfrak{I} = (D, I) }[/math] 被称为一个 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math]-模型，也称为 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math]-解释，其中：

  • [math]\displaystyle{ D }[/math] 是非空集合，即论域(domain of discourse)或个体域(individual domain)；
  • [math]\displaystyle{ I }[/math] 是一个映射，且
    • 将 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math]-语言中的每一个个体常项 [math]\displaystyle{ c }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 中的元素 [math]\displaystyle{ I(c) }[/math]；
    • 将 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math]-语言中的每一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元函项 [math]\displaystyle{ f }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元映射 [math]\displaystyle{ I(f) }[/math]；
    • 将 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math]-语言中的每一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元谓词 [math]\displaystyle{ P }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元关系 [math]\displaystyle{ I(P) }[/math]。

也简称为模型(model)或解释(interpretation)。

注：

  • 这两种定义本质等价：对特定公式的结构可以视为对全体个体常项的结构在相关常项上的限制。
  • 一个指派本身不关注所关联的命题，它只是一个把命题变元映射到真值的映射本身。是携带了对应动作的结构。
  • 闭式在给定结构下可以判断真假，成为了一个命题。
  • 解释 [math]\displaystyle{ \mathfrak{I} }[/math] 下的 [math]\displaystyle{ c, f, P }[/math] 的像也记作 [math]\displaystyle{ c^\mathfrak{I}, f^\mathfrak{I}, P^\mathfrak{I} }[/math] 。


谓词逻辑/一阶逻辑
命题结构 项 个体词（个体常项、个体变项）、论域（个体域）、函项、项、闭项
谓词 谓词（谓词常项、谓词变项）
量词 量词（辖域、出现）、全称量词 [math]\displaystyle{ \forall }[/math] 、存在量词 [math]\displaystyle{ \exists }[/math]
谓词公式 形式定义 谓词语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math] 、谓词公式、闭式
逻辑语义 结构、指派/赋值、基本语义定义、解释、满足、模型
语义分类 普遍有效公式、可满足式、不可满足式
范式 前束范式、 Skolem 范式
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