查看“︁一致性”︁的源代码

[[分类:证明论]]
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'''一致性'''('''consistency''')指一个[[形式化公理系统（逻辑）|公理系统]]中，不会同时[[证明]]出一对互为否定的[[定理]]。
也指一些前提不同时[[演绎]]出一对互为否定的结论。

通常的可演绎关系都会满足[[爆炸原理]]成立，如果一个公理系统不一致则可以证明出任何公式，因此也等价于：公理系统是一致的，当且仅当其所有定理的集合不是所有公式的集合。

== 定义 ==
在给定[[形式化公理系统（逻辑）|公理系统]]中，若不存在公式 <math>\phi</math> 使得 <math>\vdash \phi</math> 且 <math>\vdash \lnot \phi</math> ，称公理系统是'''一致的'''('''consistent''')。否则称公理系统是'''不一致的'''('''inconsistent''')。

在给定[[形式化公理系统（逻辑）|公理系统]]中，对公式集 <math>\Gamma</math> ，若不存在公式 <math>\phi</math> 使得 <math>\Gamma \vdash \phi</math> 且 <math>\Gamma \vdash \lnot \phi</math> ，称公式集 <math>\Gamma</math> 是'''一致的'''('''consistent''')。否则称公式集是'''不一致的'''('''inconsistent''')。

== 性质 ==

* 若公式集是一致的，则其演绎结论的集合也是一致的。
* 若公式集是可满足的，则公式集一定是一致的。
* 公式集 <math>\Gamma</math> 是不一致的，当且仅当，对所有公式 <math>\phi</math> 有 <math>\Gamma\vdash\phi</math>
* 对公式集 <math>\Gamma</math> 和 公式 <math>\phi</math> ， <math>\Gamma\vdash\phi</math> 当且仅当 <math>\Gamma\cup\{\lnot\phi\}</math> 不一致。
* 对非空公式集 <math>\Gamma</math> ， <math>\Gamma</math> 是不一致的，当且仅当，对所有公式 <math>\phi</math> 有 <math>\Gamma\setminus\{\phi\}\vdash \lnot\phi</math>
* 对公式集 <math>\Gamma</math> 和 公式 <math>\phi</math> ，若 <math>\Gamma</math> 本身是一致的，则 <math>\Gamma\cup\{\phi\}</math> 和 <math>\Gamma\cup\{\lnot\phi\}</math> 一个一致一个不一致。


{{证明论}}