一致性
| 一致性 | |
|---|---|
| 术语名称 | 一致性 |
| 英语名称 | consistency |
| 一致的 | |
|---|---|
| 术语名称 | 一致的 |
| 英语名称 | consistent |
一致性(consistency)指一个公理系统中，不会同时证明出一对互为否定的定理。 也指一些前提不同时演绎出一对互为否定的结论。
通常的可演绎关系都会满足 IE 成立，因此也等价于：公理系统是一致的，当且仅当其所有定理的集合不是所有公式的集合。
定义
在给定公理系统中，若不存在公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ \vdash \phi }[/math] 且 [math]\displaystyle{ \vdash \lnot \phi }[/math] ，称公理系统是一致的(consistent)。否则称公理系统是不一致的(inconsistent)。
在给定公理系统中，对公式集 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] ，若不存在公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ \Gamma \vdash \phi }[/math] 且 [math]\displaystyle{ \Gamma \vdash \lnot \phi }[/math] ，称公式集 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] 是一致的(consistent)。否则称公式集是不一致的(inconsistent)。
性质
- 若公式集是一致的，则其演绎结论的集合也是一致的。
- 若公式集是可满足的，则公式集一定是一致的。
- 公式集 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] 是不一致的，当且仅当，对所有公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 有 [math]\displaystyle{ \Gamma\vdash\phi }[/math]
- 对公式集 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] 和 公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] ， [math]\displaystyle{ \Gamma\vdash\phi }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \Gamma\cup\{\lnot\phi\} }[/math] 不一致。
- 对非空公式集 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] ， [math]\displaystyle{ Gamma }[/math] 是不一致的，当且仅当，对所有公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 有 [math]\displaystyle{ \Gamma\setminus\{\phi\}\vdash \lnot\phi }[/math]
- 对公式集 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] 和 公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] 本身是一致的，则 [math]\displaystyle{ \Gamma\cup\{\phi\} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \Gamma\cup\{\lnot\phi\} }[/math] 一个一致一个不一致。
| 证明论 | |
|---|---|
| 形式化公理系统（形式化、公理化） | |
| 举例 | 公理系统、自然演绎系统 |
| 证明、演绎 | 证明、可证明、演绎、可演绎 |
| 命题、定理 | 公理、定理、元定理、变形规则 |
| 推理规则性质 | 保存真实性、保存重言性 |
| 公理系统性质 | 可靠性、完全性、一致性、独立性 |