查看“︁一致性”︁的源代码

[[分类:证明论]]{{DEFAULTSORT:yi2zhi4xing4}}
{{#seo:
|keywords=推理规则, 一致性
|description=证明论中，描述形式化公理系统的性质时，如果能证明出一对矛盾则称其不一致，相反称其具有一致性。本文介绍了一致性的定义和性质。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2023-08-06
}}
{{InfoBox
|name=一致性
|eng_name=consistency
}}
{{InfoBox
|name=一致的
|eng_name=consistent
}}
'''一致性'''('''consistency''')在证明论中有两种含义。
其一可指一个[[形式化公理系统（逻辑）|形式化公理系统]]中，不会同时[[证明]]出一对互为否定的[[定理]]。
其二可指形式化公理系统中给定多个前提不会同时[[演绎]]出一对互为否定的结论。

通常的可演绎关系都会满足[[爆炸原理]]成立，如果一个推理系统不一致，可以推导出一对矛盾，则可以证明出任何公式，失去使用这一系统推理的意义。因此也可以表述为：公理系统是一致的，当且仅当其所有定理的集合不是所有公式的集合。

== 定义 ==
对给定形式化公理系统 <math>\mathbf{H}</math> ，若不存在公式 <math>\phi</math> 使得 <math>\vdash \phi</math> 且 <math>\vdash \lnot \phi</math> ，称公理系统 <math>\mathbf{H}</math> 是'''一致的'''('''consistent''')。否则称公理系统 <math>\mathbf{H}</math> 是'''不一致的'''('''inconsistent''')。

对给定形式化公理系统 <math>\mathbf{H}</math> 及公式集 <math>\Gamma</math> ，若不存在公式 <math>\phi</math> 使得 <math>\Gamma \vdash \phi</math> 且 <math>\Gamma \vdash \lnot \phi</math> ，称公式集 <math>\Gamma</math> 在公理系统 <math>\mathbf{H}</math> 中是'''一致的'''('''consistent''')。否则称公式集 <math>\Gamma</math> 在公理系统 <math>\mathbf{H}</math> 中是'''不一致的'''('''inconsistent''')。

== 性质 ==

对形式化公理系统中的一个公式集：
* 若公式集是一致的，则其演绎结论的集合也是一致的。
* 若公式集是可满足的，则公式集一定是一致的。
* 公式集 <math>\Gamma</math> 是不一致的，当且仅当，对所有公式 <math>\phi</math> 有 <math>\Gamma\vdash\phi</math> 。
* 对公式集 <math>\Gamma</math> 和 公式 <math>\phi</math> ， <math>\Gamma\vdash\phi</math> 当且仅当 <math>\Gamma\cup\{\lnot\phi\}</math> 不一致。
* 对非空公式集 <math>\Gamma</math> ， <math>\Gamma</math> 是不一致的，当且仅当，对任意公式 <math>\phi</math> 有 <math>\Gamma\setminus\{\phi\}\vdash \lnot\phi</math> 。
* 对公式集 <math>\Gamma</math> 和 公式 <math>\phi</math> ，若 <math>\Gamma</math> 是一致的，则 <math>\Gamma\cup\{\phi\}</math> 和 <math>\Gamma\cup\{\lnot\phi\}</math> 中有一个是一致的，一个是不一致的。

对形式化公理系统的一致性也有类似以上的性质。


{{证明论}}