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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=三次对称群
|eng_name=symmetric group of degree 3
|aliases=六阶二面体群,dihedral group of order 6,dihedral group of degree 3
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|name=三次对称群
|type=群
|symbol=<math>S_3</math>
|latex=S_3
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{{#seo:
|keywords=三次对称群, 六阶二面体群,
|description=六元素集上构成的群有两种，其中不交换、不循环的是三次对称群，也是六阶二面体群。三次对称群由两个元素生成，一个三阶和一个二阶。在整个群中，有两个地位相同的三阶元素、三个地位相同的二阶元素。一般按对称群将其标记为轮换和对换，或按二面体群将其标记为翻转和旋转。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2024-10-11
}}
六个元素的集合上的非[[交换群]]。

是对称群，是二面体群。不是交换群。

== 举例 ==

* 3 次对称群 <math>S_3</math> 。即在三个元素 <math>\{\mathbf{1},\mathbf{2},\mathbf{3}\}</math> 上
* 6 阶二面体群 <math>D_6</math> 。即一个双面的符合 <math>C_3</math> 对称的图形（如正三角形）在旋转 1/3 周和翻面按变换的复合所生成的群。

== 刻画 ==

三次对称群是一个二面体群：

* 幺元是某元素 <math>e</math> ，对应的操作是恒等操作“不变”；
* 有一个元素是二阶元，表达为翻转 <math>f</math> ，满足 <math>f^2=e</math> 。与这个元素的运算把群中的 6 个元素分为三对。
* 有一个元素是三阶元，与其的运算可以通过这三对元素的两端串成两个反向的环，对应两面不同朝向时通过一个同向旋转产生的结构。
* 其他元素可以表达为 <math>g,g^2,gt=tg^2,g^2t=tg</math> 。

同时是一个对称群：

* 幺元是某元素 <math>e</math> ，对应的操作是恒等操作“不变”；
* 有一个元素是对换，表达为 <math>(12)</math> ，是二阶元。
* 其他元素中有一个三阶轮换，可以表达为 <math>(123)</math> ，是三阶元。
* 其他元素都能分解为这两个元素的积。

=== Cayley 表 ===

如果将元素按轮换表达， [[Cayley 表]]如下所示：
（注意，本文只有下表为逆序复合运算，即与排列的复合相反，先进行的排列写在前方。实际点所代表的顺序需要看使用者习惯）

<math>
\begin{array}{c|ccc}
\cdot & e & (12) & (23) & (13) & (123) & (132) \\ \hline
e & e & (12) & (23) & (13) & (123) & (132) \\
(12) & (12) & e & (123) & (132) & (23) & (13) \\
(23) & (23) & (132) & e & (123) & (13) & (12) \\
(13) & (13) & (123) & (132) & e & (12) & (23) \\
(123) & (123) & (13) & (12) & (23) & (132) & e \\
(132) & (132) & (23) & (13) & (12) & e & (123) \\
\end{array}
</math>

对称群视角：

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ <math>S_3</math> 群表
|-
! 复合 <br/> （正序）
! 恒等置换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_i}}
! 轮换 <math>(123)</math> <br/> <math>x</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x}}
! 轮换 <math>(132)</math> <br/> <math>x^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x2}}
! 对换 <math>(12)</math> <br/> <math>y</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_y}}
! 对换 <math>(23)</math> <br/> <math>xy</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_xy}}
! 对换 <math>(13)</math> <br/> <math>x^2y</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x2y}}
|-
! 恒等置换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_i}}
| 恒等置换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_i}}
| 轮换 <math>(123)</math> <br/> <math>x</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x}}
| 轮换 <math>(132)</math> <br/> <math>x^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x2}}
| 对换 <math>(12)</math> <br/> <math>y</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_y}}
| 对换 <math>(23)</math> <br/> <math>xy</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_xy}}
| 对换 <math>(13)</math> <br/> <math>x^2y</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x2y}}
|-
! 轮换 <math>(123)</math> <br/> <math>x</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x}}
| 轮换 <math>(123)</math> <br/> <math>x</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x}}
| 轮换 <math>(132)</math> <br/> <math>x^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x2}}
| 恒等置换 <br/> <math>x^3=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_i}}
| 对换 <math>(23)</math> <br/> <math>xy</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_xy}}
| 对换 <math>(13)</math> <br/> <math>x^2y</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x2y}}
| 对换 <math>(12)</math> <br/> <math>x^3y=y</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_y}}
|-
! 轮换 <math>(132)</math> <br/> <math>x^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x}}
| 轮换 <math>(132)</math> <br/> <math>x^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x2}}
| 恒等置换 <br/> <math>x^3=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_i}}
| 轮换 <math>(123)</math> <br/> <math>x^4=x</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x}}
| 对换 <math>(23)</math> <br/> <math>x^2y</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x2y}}
| 对换 <math>(13)</math> <br/> <math>x^3y=y</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_y}}
| 对换 <math>(12)</math> <br/> <math>x^4y=xy</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_xy}}
|-
! 对换 <math>(12)</math> <br/> <math>y</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_y}}
| 对换 <math>(12)</math> <br/> <math>y</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_y}}
| 对换 <math>(13)</math> <br/> <math>yx=x^2y</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x2y}}
| 对换 <math>(23)</math> <br/> <math>yx^2=xy</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_xy}}
| 恒等置换 <br/> <math>y^2=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_i}}
| 轮换 <math>(132)</math> <br/> <math>yxy=x^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x2}}
| 轮换 <math>(123)</math> <br/> <math>yx^2y=x</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x}}
|-
! 对换 <math>(23)</math> <br/> <math>xy</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_xy}}
| 对换 <math>(23)</math> <br/> <math>xy</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_xy}}
| 对换 <math>(12)</math> <br/> <math>xyx=y</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_y}}
| 对换 <math>(13)</math> <br/> <math>xyx^2=x^2y</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x2y}}
| 轮换 <math>(123)</math> <br/> <math>xy^2=x</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x}}
| 恒等置换 <br/> <math>xyxy=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_i}}
| 轮换 <math>(132)</math> <br/> <math>xyx^2y=x^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s3_x2}}
|}

需要特别注意两侧不交换， <math>xy=yx^2, yx=x^2y</math> 。

二面体群视角：

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ <math>D_6</math> 群表
|-
! 复合 <br/> （正序）
! 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_e}}
! 1/3周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x}}
! 2/3周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x2}}
! 翻转 <br/> <math>f</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_f}}
! 翻转后1/3旋转 <br/> <math>rf</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_rf}}
! 翻转后2/3旋转 <br/> <math>r^2f</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_r2f}}
|-
! 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_e}}
| 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_e}}
| 1/3周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x}}
| 2/3周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x2}}
| 翻转 <br/> <math>f</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_f}}
| 翻转后1/3旋转 <br/> <math>rf</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_rf}}
| 翻转后2/3旋转 <br/> <math>r^2f</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_r2f}}
|-
! 1/3周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x}}
| 1/3周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x}}
| 2/3周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x2}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^3=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_e}}
| 翻转后1/3旋转 <br/> <math>rf</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_rf}}
| 翻转后2/3旋转 <br/> <math>r^2f</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_r2f}}
| 翻转 <br/> <math>r^3f=f</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_f}}
|-
! 2/3周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x}}
| 2/3周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x2}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^3=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_e}}
| 1/3周旋转 <br/> <math>r^4=r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x}}
| 翻转后2/3旋转 <br/> <math>r^2f</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_r2f}}
| 翻转 <br/> <math>r^3f=f</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_f}}
| 翻转后1/3旋转 <br/> <math>r^4f=rf</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_rf}}
|-
! 翻转 <br/> <math>f</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_f}}
| 翻转 <br/> <math>f</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_f}}
| 翻转后2/3旋转 <br/> <math>fr=r^2f</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_r2f}}
| 翻转后1/3旋转 <br/> <math>fr^2=rf</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_rf}}
| 恒等变换 <br/> <math>f^2=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_e}}
| 2/3周旋转 <br/> <math>frf=r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x2}}
| 1/3周旋转 <br/> <math>fr^2f=r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x}}
|-
! 翻转后1/3旋转 <br/> <math>rf</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_rf}}
| 翻转后1/3旋转 <br/> <math>rf</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_rf}}
| 翻转 <br/> <math>rfr=f</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_f}}
| 翻转后2/3旋转 <br/> <math>rfr^2=r^2f</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_r2f}}
| 1/3周旋转 <br/> <math>rf^2=r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x}}
| 恒等变换 <br/> <math>rfrf=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_e}}
| 2/3周旋转 <br/> <math>rfr^2f=r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x2}}
|-
! 翻转后2/3旋转 <br/> <math>r^2f</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_r2f}}
| 翻转后2/3旋转 <br/> <math>r^2f</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_r2f}}
| 翻转后1/3旋转 <br/> <math>r^2fr=rf</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_rf}}
| 翻转 <br/> <math>r^2fr^2=f</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/d6_f}}
| 2/3周旋转 <br/> <math>r^2f^2=r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x2}}
| 1/3周旋转 <br/> <math>r^2frf=r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^2fr^2f=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_e}}
|}

两侧不交换的关系仍然存在，表现为 <math>rf=fr^2,fr=r^2f</math> ，也就是在翻转前后旋转需要改变方向。

=== 内部结构 ===

Cayley 表中可以看到关于是否有二阶元 <math>y</math> 和 <math>f</math> 分成类似 <math>C_2</math> 的结构，但是每个 <math>3\times 3</math> 块间并不是直接重复的，而是经过了对调。这一对调可以看成是经过了 <math>C_3</math> 上的一次平方或求逆。

<math>S_3 = D_6 = C_3 \rtimes_\varphi C_2, \varphi: C_2\to \mathrm{Aut}(C_3); i \mapsto i_{C_3}, y \mapsto x \mapsto x^2</math>

=== Cayley 图 ===

是一个二面体群，有一个二阶的翻转生成元和一个三阶的旋转生成元。

{{GiteaSvg|groups/d6_graph}}

旋转生成元产生了两个类似 <math>C_3</math> 的结构，两个结构间元素通过完全相同的 <math>C_2</math> 结构关联，但是在两个结构中关联元素的箭头顺序正好相反，这也可以说明其同构于 <math>C_3\rtimes C_2</math> ，且其中的半直积需要通过一个求逆（三阶群中就是平方）的自同态完成。

=== 环图 ===

[[环图]]如下：

{{GiteaSvg|groups/d6_cycle}}

其中主要包含其三阶循环子群以及其余的三个二阶元各自的边。

=== 群表示 ===

三次对称群的[[群表示]]为 <math>\langle x, y, z\mid x^2 = y^2 = z^3 = xyz = e \rangle</math> 。

== 性质 ==

* 群
** 三次对称群中，有 3 个 2 阶元、 2 个 3 阶元。
** 不是交换群，其中心仅有平凡子群 <math>\{e\}</math> 。
* 子群结构
** [[子群]]分布：除平凡子群外，还有三个二阶子群和一个三阶子群。在对称群视角，分别是其中两个元素的对称的子群（<math>S_2</math>）和所有偶对称的构成的子群（<math>A_3</math>）。在二面体群视角，分别是按照过三个顶点的不同轴的翻转构成的二阶子群，以及三等分圆周的旋转构成的子群。
** [[正规子群]]：只有三阶子群是正规子群。
** [[商群]]：对平凡子群作商得到平凡商群，分别为自身和平凡群。对三阶子群作商得到二阶群，对称群视角是把起始位置的轮转去除后只看排列是 123 还是 132 ，二面体群视角是把旋转去掉以后只看翻转。
* 自同态结构
** 有 10 个[[群自同态|自同态]]：考虑两个生成元的像。平凡同态把所有元素映射到幺元， 1 个；选择一个二阶元映射到幺元，由于另外两个对换之间可以通过其复合得到、另外两个三阶元之间可以通过其复合得到，另外两个对换会变成同一个二阶元、两个轮换变成同一个二阶元，因此此时陪域是三阶群，全部取决于之前选择了哪个对换，因此有 3 个；选择一个三阶元映射到幺元，此时三阶元全都是幺元，而二阶元可以和三阶元复合为另一个三阶元，因此全部是幺元，这种情况只能也是平凡同态；将二阶元映射到二阶元，三阶元映射到三阶元，各自 3 种和 2 种选择都不重复，计 6 个。
** 有 6 个[[群自同构|自同构]]： <math>\mathrm{Aut}(S_3)\cong S_3</math> 。


{{小阶数群}}