三次对称群

三次对称群
术语名称	三次对称群
英语名称	symmetric group of degree 3
别名	六阶二面体群, dihedral group of order 6, dihedral group of degree 3

三次对称群
对象名称	三次对称群
对象记号	[math]\displaystyle{ S_3 }[/math]
Latex	S_3
对象类别	群

六个元素的集合上的非交换群。

是对称群，是二面体群。不是交换群。

举例

• 3 次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] 。即在三个元素 [math]\displaystyle{ \{\mathbf{1},\mathbf{2},\mathbf{3}\} }[/math] 上
• 6 阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math] 。即一个双面的符合 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math] 对称的图形（如正三角形）在旋转 1/3 周和翻面按变换的复合所生成的群。

刻画

三次对称群是一个二面体群：

• 幺元是某元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，对应的操作是恒等操作“不变”；
• 有一个元素是二阶元，表达为翻转 [math]\displaystyle{ f }[/math] ，满足 [math]\displaystyle{ f^2=e }[/math] 。与这个元素的运算把群中的 6 个元素分为三对。
• 有一个元素是三阶元，与其的运算可以通过这三对元素的两端串成两个反向的环，对应两面不同朝向时通过一个同向旋转产生的结构。
• 其他元素可以表达为 [math]\displaystyle{ g,g^2,gt=tg^2,g^2t=tg }[/math] 。

同时是一个对称群：

• 幺元是某元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，对应的操作是恒等操作“不变”；
• 有一个元素是对换，表达为 [math]\displaystyle{ (12) }[/math] ，是二阶元。
• 其他元素中有一个三阶轮换，可以表达为 [math]\displaystyle{ (123) }[/math] ，是三阶元。
• 其他元素都能分解为这两个元素的积。

Cayley 表

如果将元素按轮换表达， Cayley 表如下所示： （注意，本文只有下表为逆序复合运算，即与排列的复合相反，先进行的排列写在前方。实际点所代表的顺序需要看使用者习惯）

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|ccc} \cdot & e & (12) & (23) & (13) & (123) & (132) \\ \hline e & e & (12) & (23) & (13) & (123) & (132) \\ (12) & (12) & e & (123) & (132) & (23) & (13) \\ (23) & (23) & (132) & e & (123) & (13) & (12) \\ (13) & (13) & (123) & (132) & e & (12) & (23) \\ (123) & (123) & (13) & (12) & (23) & (132) & e \\ (132) & (132) & (23) & (13) & (12) & e & (123) \\ \end{array} }[/math]

对称群视角：

[math]\displaystyle{ S_3 }[/math] 群表

复合 （正序）	恒等置换 [math]\displaystyle{ i }[/math]	轮换 [math]\displaystyle{ (123) }[/math] [math]\displaystyle{ x }[/math]	轮换 [math]\displaystyle{ (132) }[/math] [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (12) }[/math] [math]\displaystyle{ y }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (23) }[/math] [math]\displaystyle{ xy }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (13) }[/math] [math]\displaystyle{ x^2y }[/math]
恒等置换 [math]\displaystyle{ i }[/math]	恒等置换 [math]\displaystyle{ i }[/math]	轮换 [math]\displaystyle{ (123) }[/math] [math]\displaystyle{ x }[/math]	轮换 [math]\displaystyle{ (132) }[/math] [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (12) }[/math] [math]\displaystyle{ y }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (23) }[/math] [math]\displaystyle{ xy }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (13) }[/math] [math]\displaystyle{ x^2y }[/math]
轮换 [math]\displaystyle{ (123) }[/math] [math]\displaystyle{ x }[/math]	轮换 [math]\displaystyle{ (123) }[/math] [math]\displaystyle{ x }[/math]	轮换 [math]\displaystyle{ (132) }[/math] [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]	恒等置换 [math]\displaystyle{ x^3=i }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (23) }[/math] [math]\displaystyle{ xy }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (13) }[/math] [math]\displaystyle{ x^2y }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (12) }[/math] [math]\displaystyle{ x^3y=y }[/math]
轮换 [math]\displaystyle{ (132) }[/math] [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]	轮换 [math]\displaystyle{ (132) }[/math] [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]	恒等置换 [math]\displaystyle{ x^3=i }[/math]	轮换 [math]\displaystyle{ (123) }[/math] [math]\displaystyle{ x^4=x }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (23) }[/math] [math]\displaystyle{ x^2y }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (13) }[/math] [math]\displaystyle{ x^3y=y }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (12) }[/math] [math]\displaystyle{ x^4y=xy }[/math]
对换 [math]\displaystyle{ (12) }[/math] [math]\displaystyle{ y }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (12) }[/math] [math]\displaystyle{ y }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (13) }[/math] [math]\displaystyle{ yx=x^2y }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (23) }[/math] [math]\displaystyle{ yx^2=xy }[/math]	恒等置换 [math]\displaystyle{ y^2=i }[/math]	轮换 [math]\displaystyle{ (132) }[/math] [math]\displaystyle{ yxy=x^2 }[/math]	轮换 [math]\displaystyle{ (123) }[/math] [math]\displaystyle{ yx^2y=x }[/math]
对换 [math]\displaystyle{ (23) }[/math] [math]\displaystyle{ xy }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (23) }[/math] [math]\displaystyle{ xy }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (12) }[/math] [math]\displaystyle{ xyx=y }[/math]	对换 [math]\displaystyle{ (13) }[/math] [math]\displaystyle{ xyx^2=x^2y }[/math]	轮换 [math]\displaystyle{ (123) }[/math] [math]\displaystyle{ xy^2=x }[/math]	恒等置换 [math]\displaystyle{ xyxy=i }[/math]	轮换 [math]\displaystyle{ (132) }[/math] [math]\displaystyle{ xyx^2y=x^2 }[/math]

需要特别注意两侧不交换， [math]\displaystyle{ xy=yx^2, yx=x^2y }[/math] 。

二面体群视角：

[math]\displaystyle{ D_6 }[/math] 群表

复合 （正序）	恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math]	1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]	2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]	翻转 [math]\displaystyle{ f }[/math]	翻转后1/3旋转 [math]\displaystyle{ rf }[/math]	翻转后2/3旋转 [math]\displaystyle{ r^2f }[/math]
恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math]	恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math]	1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]	2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]	翻转 [math]\displaystyle{ f }[/math]	翻转后1/3旋转 [math]\displaystyle{ rf }[/math]	翻转后2/3旋转 [math]\displaystyle{ r^2f }[/math]
1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]	1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]	2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]	恒等变换 [math]\displaystyle{ r^3=i }[/math]	翻转后1/3旋转 [math]\displaystyle{ rf }[/math]	翻转后2/3旋转 [math]\displaystyle{ r^2f }[/math]	翻转 [math]\displaystyle{ r^3f=f }[/math]
2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]	2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]	恒等变换 [math]\displaystyle{ r^3=i }[/math]	1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^4=r }[/math]	翻转后2/3旋转 [math]\displaystyle{ r^2f }[/math]	翻转 [math]\displaystyle{ r^3f=f }[/math]	翻转后1/3旋转 [math]\displaystyle{ r^4f=rf }[/math]
翻转 [math]\displaystyle{ f }[/math]	翻转 [math]\displaystyle{ f }[/math]	翻转后2/3旋转 [math]\displaystyle{ fr=r^2f }[/math]	翻转后1/3旋转 [math]\displaystyle{ fr^2=rf }[/math]	恒等变换 [math]\displaystyle{ f^2=i }[/math]	2/3周旋转 [math]\displaystyle{ frf=r^2 }[/math]	1/3周旋转 [math]\displaystyle{ fr^2f=r }[/math]
翻转后1/3旋转 [math]\displaystyle{ rf }[/math]	翻转后1/3旋转 [math]\displaystyle{ rf }[/math]	翻转 [math]\displaystyle{ rfr=f }[/math]	翻转后2/3旋转 [math]\displaystyle{ rfr^2=r^2f }[/math]	1/3周旋转 [math]\displaystyle{ rf^2=r }[/math]	恒等变换 [math]\displaystyle{ rfrf=i }[/math]	2/3周旋转 [math]\displaystyle{ rfr^2f=r^2 }[/math]
翻转后2/3旋转 [math]\displaystyle{ r^2f }[/math]	翻转后2/3旋转 [math]\displaystyle{ r^2f }[/math]	翻转后1/3旋转 [math]\displaystyle{ r^2fr=rf }[/math]	翻转 [math]\displaystyle{ r^2fr^2=f }[/math]	2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2f^2=r^2 }[/math]	1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2frf=r }[/math]	恒等变换 [math]\displaystyle{ r^2fr^2f=i }[/math]

两侧不交换的关系仍然存在，表现为 [math]\displaystyle{ rf=fr^2,fr=r^2f }[/math] ，也就是在翻转前后旋转需要改变方向。

内部结构

Cayley 表中可以看到关于是否有二阶元 [math]\displaystyle{ y }[/math] 和 [math]\displaystyle{ f }[/math] 分成类似 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 的结构，但是每个 [math]\displaystyle{ 3\times 3 }[/math] 块间并不是直接重复的，而是经过了对调。这一对调可以看成是经过了 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math] 上的一次平方或求逆。

[math]\displaystyle{ S_3 = D_6 = C_3 \rtimes_\varphi C_2, \varphi: C_2\to \mathrm{Aut}(C_3); i \mapsto i_{C_3}, y \mapsto x \mapsto x^2 }[/math]

Cayley 图

是一个二面体群，有一个二阶的翻转生成元和一个三阶的旋转生成元。

旋转生成元产生了两个类似 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math] 的结构，两个结构间元素通过完全相同的 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 结构关联，但是在两个结构中关联元素的箭头顺序正好相反，这也可以说明其同构于 [math]\displaystyle{ C_3\rtimes C_2 }[/math] ，且其中的半直积需要通过一个求逆（三阶群中就是平方）的自同态完成。

环图

环图如下：

其中主要包含其三阶循环子群以及其余的三个二阶元各自的边。

群表示

三次对称群的群表示为 [math]\displaystyle{ \langle x, y, z\mid x^2 = y^2 = z^3 = xyz = e \rangle }[/math] 。

性质

• 群
  • 三次对称群中，有 3 个 2 阶元、 2 个 3 阶元。
  • 不是交换群，其中心仅有平凡子群 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math] 。
• 子群结构
  • 子群分布：除平凡子群外，还有三个二阶子群和一个三阶子群。在对称群视角，分别是其中两个元素的对称的子群（[math]\displaystyle{ S_2 }[/math]）和所有偶对称的构成的子群（[math]\displaystyle{ A_3 }[/math]）。在二面体群视角，分别是按照过三个顶点的不同轴的翻转构成的二阶子群，以及三等分圆周的旋转构成的子群。
  • 正规子群：只有三阶子群是正规子群。
  • 商群：对平凡子群作商得到平凡商群，分别为自身和平凡群。对三阶子群作商得到二阶群，对称群视角是把起始位置的轮转去除后只看排列是 123 还是 132 ，二面体群视角是把旋转去掉以后只看翻转。
• 自同态结构
  • 有 10 个自同态：考虑两个生成元的像。平凡同态把所有元素映射到幺元， 1 个；选择一个二阶元映射到幺元，由于另外两个对换之间可以通过其复合得到、另外两个三阶元之间可以通过其复合得到，另外两个对换会变成同一个二阶元、两个轮换变成同一个二阶元，因此此时陪域是三阶群，全部取决于之前选择了哪个对换，因此有 3 个；选择一个三阶元映射到幺元，此时三阶元全都是幺元，而二阶元可以和三阶元复合为另一个三阶元，因此全部是幺元，这种情况只能也是平凡同态；将二阶元映射到二阶元，三阶元映射到三阶元，各自 3 种和 2 种选择都不重复，计 6 个。
  • 有 6 个自同构： [math]\displaystyle{ \mathrm{Aut}(S_3)\cong S_3 }[/math] 。

小群
1	平凡群 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math]
2	二阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math]
3	三阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math]
4	四阶循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math]、Klein 四元群 [math]\displaystyle{ V }[/math] / [math]\displaystyle{ K_4 }[/math]
5	五阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math]
6	六阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 、三次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] / 六阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math]
7	七阶循环群 [math]\displaystyle{ C_7 }[/math]
8	八阶循环群 [math]\displaystyle{ C_8 }[/math] 、八阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_8 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_4 \times C_2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 }[/math] 、四元数群