三次对称群
| 三次对称群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 三次对称群 |
| 英语名称 | symmetric group of degree 3 |
| 别名 | 六阶二面体群, dihedral group of order 6, dihedral group of degree 3 |
| 三次对称群 | |
|---|---|
| 对象名称 | 三次对称群 |
| 对象记号 | [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] |
| Latex | S_3
|
| 对象类别 | 群 |
六个元素的集合上，非交换群的唯一一种形式。既是对称群，也是二面体群。
举例
- 3 次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] 。
- 6 阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math] 。
刻画
三次对称群是一个二面体群：
- 幺元是某元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，对应的操作是恒等操作“不变”；
- 有一个元素是二阶元，表达为翻转 [math]\displaystyle{ t }[/math] ，满足 [math]\displaystyle{ t^2=e }[/math] 。
- 其他元素可以表达为 [math]\displaystyle{ g,g^2,gt=tg^2,g^2t=tg }[/math] 。
同时是一个对称群：
- 幺元是某元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，对应的操作是恒等操作“不变”；
- 有一个元素是对换，表达为 [math]\displaystyle{ (12) }[/math] ，是二阶元。
- 其他元素中有一个三阶轮换，可以表达为 [math]\displaystyle{ (123) }[/math] ，是三阶元。
- 其他元素都能分解为这两个元素的积。
如果将元素按轮换表达，凯莱表如下所示：
[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|ccc} \cdot & e & (12) & (23) & (13) & (123) & (132) \\ \hline e & e & (12) & (23) & (13) & (123) & (132) \\ (12) & (12) & e & (123) & (132) & (23) & (13) \\ (23) & (23) & (132) & e & (123) & (13) & (12) \\ (13) & (13) & (123) & (132) & e & (12) & (23) \\ (123) & (123) & (13) & (12) & (23) & (132) & e \\ (132) & (132) & (23) & (13) & (12) & e & (123) \\ \end{array} }[/math]
三次对称群的群表示为 [math]\displaystyle{ \langle x, y, z\mid x^2 = y^2 = z^3 = xyz = e \rangle }[/math] 。
性质
- 群
- 三次对称群中，有 3 个 2 阶元、 2 个 3 阶元。
- 不是交换群，没有中心。
- 子群结构
- 有三个二阶子群（[math]\displaystyle{ S_2 }[/math]）和两个三阶子群（[math]\displaystyle{ A_3 }[/math]）。
- 只有三阶子群是正规子群。
| 小群 | |
|---|---|
| 1 | 平凡群 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math] |
| 2 | 二阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] |
| 3 | 三阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math] |
| 4 | 四阶循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math]、Klein 四元群 [math]\displaystyle{ K_4 }[/math] |
| 5 | 五阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math] |
| 6 | 六阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 、三次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] / 六阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math] |
| 7 | 七阶循环群 [math]\displaystyle{ C_7 }[/math] |
| 8 | 八阶循环群 [math]\displaystyle{ C_8 }[/math] 、八阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_8 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_4 \times C_2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 }[/math] 、四元数群 |