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[[分类:二元关系]]{{DEFAULTSORT:san1qi2xing4}}
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|keywords=三歧性
|description=本文介绍二元关系中三歧性的定义、性质和应用，包括三歧性作为不对称且完全关系的特征，及其在严格全序和数学基础中的重要性。
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|published_time=2025-10-31
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|name=三歧性
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'''三歧性'''('''trichotomy''')指[[集合]]上的一个二元[[关系]]中，任意两个元素之间恰好满足三种互斥关系之一：或者是同一个元素，或者在两个元素在某个顺序下成立关系。具有三歧性的关系同时是[[不对称关系]]和[[完全关系]]。

== 定义 ==

对集合 <math>X</math> 上的二元关系 <math>R</math> ，若对任意 <math>a, b \in X</math>，下列三个条件'''有且仅有一个'''成立：
* <math>a R b</math>
* <math>b R a</math>
* <math>a = b</math>
则称：
* 关系 <math>R</math> 有'''三歧性'''('''trichotomy''')。
* 关系 <math>R</math> 是'''三歧的'''('''trichotomous''')。

等价定义：
* 与自身逆关系不相交 <math>R\cap R^\mathrm{T}=\varnothing</math> 且并集是恒等关系的补关系 <math>R\cup R^\mathrm{T} = X\times X \setminus I_X</math> 。
* 关系 <math>R</math> 是不对称关系且是完全关系。

== 性质 ==

* 表示：
** 一个关系具有三歧性当且仅当关系矩阵满足：对任意 <math>i</math> ， <math>r_ii=0</math> ；对任意 <math>i\neq j</math> ， <math>r_{ij}=1</math> 和 <math>r_{ji}=1</math> 有且仅有一个为真。
** 一个关系具有三歧性当且仅当关系图中，任意顶点都没有自环，且任意两个不同顶点之间有且仅有一条单向边。
* 关系简单运算相关性质
** 两个具有三歧性的关系的[[交（关系）|交]]'''不一定'''具有三歧性。
** 两个具有三歧性的关系的[[并（关系）|并]]'''不一定'''具有三歧性。
** 具有三歧性的关系的[[逆关系]]仍具有三歧性。
** 具有三歧性的关系的[[补（关系）|补]]'''不'''具有三歧性（会变成自反、反对称、完全的关系）。
* 关系闭包运算相关性质
** 三歧性关系的[[自反闭包]]是其与恒等关系的并关系。
** 三歧性关系的[[传递闭包]]不一定是三歧性关系。一定还是完全关系，但自反和对称难以确定。
** 三歧性关系的[[对称闭包]]是恒等关系的补关系。
* 参与特殊类型关系
** 所有[[严格全序]]都具有三歧性。


{{关系}}
{{二元关系复合类型}}