三歧性

三歧性(trichotomy)指集合上的一个二元关系中，任意两个元素之间恰好满足三种互斥关系之一：或者是同一个元素，或者在两个元素在某个顺序下成立关系。具有三歧性的关系同时是不对称关系和完全关系。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，若对任意 [math]\displaystyle{ a, b \in X }[/math]，下列三个条件有且仅有一个成立：

则称：

等价定义：

与自身逆关系不相交 [math]\displaystyle{ R\cap R^\mathrm{T}=\varnothing }[/math] 且并集是恒等关系的补关系 [math]\displaystyle{ R\cup R^\mathrm{T} = X\times X \setminus I_X }[/math] 。
关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是不对称关系且是完全关系。

表示：
- 一个关系具有三歧性当且仅当关系矩阵满足：对任意 [math]\displaystyle{ i }[/math] ， [math]\displaystyle{ r_ii=0 }[/math] ；对任意 [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] ， [math]\displaystyle{ r_{ij}=1 }[/math] 和 [math]\displaystyle{ r_{ji}=1 }[/math] 有且仅有一个为真。
- 一个关系具有三歧性当且仅当关系图中，任意顶点都没有自环，且任意两个不同顶点之间有且仅有一条单向边。
关系简单运算相关性质
- 两个具有三歧性的关系的交不一定具有三歧性。
- 两个具有三歧性的关系的并不一定具有三歧性。
- 具有三歧性的关系的逆关系仍具有三歧性。
- 具有三歧性的关系的补不具有三歧性（会变成自反、反对称、完全的关系）。
关系闭包运算相关性质
- 三歧性关系的自反闭包是其与恒等关系的并关系。
- 三歧性关系的传递闭包不一定是三歧性关系。一定还是完全关系，但自反和对称难以确定。
- 三歧性关系的对称闭包是恒等关系的补关系。
参与特殊类型关系
- 所有严格全序都具有三歧性。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]