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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=三阶循环群
|eng_name=cyclic group of order 3
|aliases=三阶群,group of order 3
}}
{{Identity
|name=三阶群
|type=群
|symbol=<math>C_3</math>
|latex=C_3
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{{#seo:
|keywords=三阶群, 三阶循环群
|description=三元素集上构成群的二元运算在同构意义下唯一，因此只存在一种三阶群。三阶群是三阶循环群。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2024-10-11
}}
只有三个元素的[[集合]]上，[[封闭]]、有[[幺元]]、有[[逆元]]的二元运算，在固定幺元后只有一个，因此每个三元素集上有同构意义下唯一的群。

全部三阶群在同构意义下唯一，一般也被称为''' 3 阶循环群''' <math>C_3</math> 。

是[[交换群]]。是[[循环群]]。

== 举例 ==

* 等边三角形绕中心旋转，不动、 <math>\tfrac{1}{3}</math> 周、 <math>\tfrac{2}{3}</math> 周。
* [[模 n 剩余类加法群|模 3 加法群]] <math>\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</math> 。
* 3 阶循环群 <math>C_3</math> 。
* 集合 <math>\{1, \omega, \bar\omega\}</math> 关于乘法构成的群，其中 <math>\omega = \exp (\tfrac{2\pi}{3} \mathrm{i}) = \tfrac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}</math> 是[[三次本原单位根]]。
* 3 次[[交错群]] <math>A_3</math> 。

== 刻画 ==

三阶群中有三个元素：

* 幺元是某元素 <math>e</math> ，对应的操作是恒等操作“不变”；
* 另两个是非幺元，互逆、三阶，因此自身 2 次幂一定会得到对方， 3 次幂时进一步回归幺元。

=== Cayley 表 ===

三阶群的 [[Cayley 表]]如下所示：

<math>
\begin{array}{c|ccc}
\cdot & e & a & b \\ \hline
e & e & a & b \\
a & a & b & e \\
b & b & e & a \\
\end{array}
</math>

或者用更循环群的 <math>g, g^2, g^3 = e</math> 表示：

<math>
\begin{array}{c|ccc}
\cdot & e & g & g^2 \\ \hline
e & e & g & g^2 \\
g & g & g^2 & e \\
g^2 & g^2 & e & g \\
\end{array}
</math>

可以按照旋转循环形式可视化为：

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ <math>C_3</math> 群表
|-
! 复合
! 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_e}}
! 1/3周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x}}
! 2/3周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x2}}
|-
! 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_e}}
| 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_e}}
| 1/3周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x}}
| 2/3周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x2}}
|-
! 1/3周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x}}
| 1/3周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x}}
| 2/3周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x2}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^3=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x3}}
|-
! 2/3周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x2}}
| 2/3周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x2}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^3 = i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x3}}
| 1/3周旋转 <br/> <math>r^4=r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c3_x4}}
|}

=== Cayley 图 ===

是一个循环群，阶为 3 。

{{GiteaSvg|groups/c3_graph}}

=== 群表示 ===

三阶群的[[群表示]]为 <math>\langle x\mid x^3 \rangle</math> 。

== 性质 ==

* 群
** 三阶群中，幺元以外的两个元素 <math>a, b</math> 都是三阶的。
** 他们的逆元都是对方。<br/><math>a b = b a = e \Rightarrow a^{-1}=b, b^{-1}=a</math> 。
** 他们的 2 次幂也都是对方。<br/><math>a b = e = a^3 = b^3 \Rightarrow a^2=b \land b^2=a</math> 。
** 是交换群。
* 子群结构
** [[子群]]分布：质数阶群只有平凡子群，即[[平凡群]]和自身。
** [[正规子群]]：交换群的子群都是正规子群，以上两个子群均正规。
** [[商群]]：对平凡子群做商得到平凡商群，分别为自身和平凡群。
* 是其他复杂结构的平凡形式
** 2 次交错群 <math>A_3</math> 。
** ……
* 自同态结构
** 有三个[[群自同态|自同态]]：[[恒等映射|恒等同态]] <math>\mathrm{id}_{C_3}: g\mapsto g</math> 、[[平凡同态]] <math>g\mapsto e_{C_2}</math> ，以及一个平方映射 <math>g\mapsto g^2</math> 交换幺元外的两个元素。
** 有两个[[群自同构|自同构]]：恒等映射、平方映射。作为群同构，在保持双射且把幺元映射到幺元的同时，前者保持剩余两个元素不变，后者交换剩余两个元素，刚好是 2 次对称群中的两个操作。 <math>\mathrm{Aut}(C_3)\cong C_2</math> 。


{{小阶数群}}

== 参考资料 ==
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Cyclic_group:Z3