三阶群

三阶循环群
术语名称	三阶循环群
英语名称	cyclic group of order 3
别名	三阶群, group of order 3

三阶群
对象名称	三阶群
对象记号	[math]\displaystyle{ C_3 }[/math]
Latex	C_3
对象类别	群

只有三个元素的集合上，封闭、有幺元、有逆元的二元运算，在固定幺元后只有一个，因此每个三元素集上有同构意义下唯一的群。

全部三阶群在同构意义下唯一，一般也被称为 3 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math] 。

举例

等边三角形绕中心旋转，不动、 [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{3} }[/math] 周、 [math]\displaystyle{ \tfrac{2}{3} }[/math] 周。
模 3 加法群 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} }[/math] 。
3 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math] 。
集合 [math]\displaystyle{ \{1, \omega, \bar\omega\} }[/math] 关于乘法构成的群，其中 [math]\displaystyle{ \omega = \exp (\tfrac{2\pi}{3} \mathrm{i}) = \tfrac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2} }[/math] 是三次本原单位根。
3 次交错群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math] 。

刻画

三阶群中有三个元素：

幺元是某元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，对应的操作是恒等操作“不变”；
另两个是非幺元，互逆、三阶，因此自身 2 次幂一定会得到对方， 3 次幂时进一步回归幺元。

三阶群的凯莱表如下所示：

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|ccc} \cdot & e & a & b \\ \hline e & e & a & b \\ a & a & b & e \\ b & b & e & a \\ \end{array} }[/math]

或者用更循环群的 [math]\displaystyle{ g, g^2, g^3 = e }[/math] 表示：

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|ccc} \cdot & e & g & g^2 \\ \hline e & e & g & g^2 \\ g & g & g^2 & e \\ g^2 & g^2 & e & g \\ \end{array} }[/math]

三阶群的群表示为 [math]\displaystyle{ \langle x\mid x^3 \rangle }[/math] 。

性质

群
- 三阶群中，幺元以外的两个元素 [math]\displaystyle{ a, b }[/math] 都是三阶的。
- 他们的逆元都是对方。
  [math]\displaystyle{ a b = b a = e \Rightarrow a^{-1}=b, b^{-1}=a }[/math] 。
- 他们的 2 次幂也都是对方。
  [math]\displaystyle{ a b = e = a^3 = b^3 \Rightarrow a^2=b \land b^2=a }[/math] 。
- 是交换群。
子群结构
- 只有平凡子群。

小群
1	平凡群 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math]
2	二阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math]
3	三阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math]
4	四阶循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math]、Klein 四元群 [math]\displaystyle{ K_4 }[/math]
5	五阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math]
6	六阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 、三次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] / 六阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math]
7	七阶循环群 [math]\displaystyle{ C_7 }[/math]
8	八阶循环群 [math]\displaystyle{ C_8 }[/math] 、八阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_8 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_4 \times C_2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 }[/math] 、四元数群