三阶群
| 三阶循环群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 三阶循环群 |
| 英语名称 | cyclic group of order 3 |
| 别名 | 三阶群, group of order 3 |
| 三阶群 | |
|---|---|
| 对象名称 | 三阶群 |
| 对象记号 | [math]\displaystyle{ C_3 }[/math] |
| Latex | C_3
|
| 对象类别 | 群 |
只有三个元素的集合上，封闭、有幺元、有逆元的二元运算，在固定幺元后只有一个，因此每个三元素集上有同构意义下唯一的群。
全部三阶群在同构意义下唯一，一般也被称为 3 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math] 。
举例
- 等边三角形绕中心旋转，不动、 [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{3} }[/math] 周、 [math]\displaystyle{ \tfrac{2}{3} }[/math] 周。
- 模 3 加法群 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} }[/math] 。
- 3 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math] 。
- 集合 [math]\displaystyle{ \{1, \omega, \bar\omega\} }[/math] 关于乘法构成的群，其中 [math]\displaystyle{ \omega = \exp (\tfrac{2\pi}{3} \mathrm{i}) = \tfrac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2} }[/math] 是三次本原单位根。
- 3 次交错群 [math]\displaystyle{ A_3 }[/math] 。
刻画
三阶群中有三个元素：
- 幺元是某元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，对应的操作是恒等操作“不变”；
- 另两个是非幺元，互逆、三阶，因此自身 2 次幂一定会得到对方， 3 次幂时进一步回归幺元。
Cayley 表
三阶群的 Cayley 表如下所示：
[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|ccc} \cdot & e & a & b \\ \hline e & e & a & b \\ a & a & b & e \\ b & b & e & a \\ \end{array} }[/math]
或者用更循环群的 [math]\displaystyle{ g, g^2, g^3 = e }[/math] 表示：
[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|ccc} \cdot & e & g & g^2 \\ \hline e & e & g & g^2 \\ g & g & g^2 & e \\ g^2 & g^2 & e & g \\ \end{array} }[/math]
可以按照旋转循环形式可视化为：
| 复合 | 恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math] 
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1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math] 
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2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math] 
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|---|---|---|---|
| 恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math]
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恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math]
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1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]
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2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]
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| 1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]
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1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]
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2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]
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恒等变换 [math]\displaystyle{ r^3=i }[/math] 
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| 2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]
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2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]
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恒等变换 [math]\displaystyle{ r^3 = i }[/math]
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1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^4=r }[/math] 
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Cayley 图
是一个循环群，阶为 3 。
群表示
三阶群的群表示为 [math]\displaystyle{ \langle x\mid x^3 \rangle }[/math] 。
性质
- 群
- 三阶群中，幺元以外的两个元素 [math]\displaystyle{ a, b }[/math] 都是三阶的。
- 他们的逆元都是对方。
[math]\displaystyle{ a b = b a = e \Rightarrow a^{-1}=b, b^{-1}=a }[/math] 。 - 他们的 2 次幂也都是对方。
[math]\displaystyle{ a b = e = a^3 = b^3 \Rightarrow a^2=b \land b^2=a }[/math] 。 - 是交换群。
- 子群结构
- 是其他复杂结构的平凡形式
- 2 次交错群 [math]\displaystyle{ A_3 }[/math] 。
- ……
- 自同态结构
- 有三个自同态：恒等同态 [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_{C_3}: g\mapsto g }[/math] 、平凡同态 [math]\displaystyle{ g\mapsto e_{C_2} }[/math] ，以及一个平方映射 [math]\displaystyle{ g\mapsto g^2 }[/math] 交换幺元外的两个元素。
- 有两个自同构：恒等映射、平方映射。作为群同构，在保持双射且把幺元映射到幺元的同时，前者保持剩余两个元素不变，后者交换剩余两个元素，刚好是 2 次对称群中的两个操作。 [math]\displaystyle{ \mathrm{Aut}(C_3)\cong C_2 }[/math] 。
| 小群 | |
|---|---|
| 1 | 平凡群 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math] |
| 2 | 二阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] |
| 3 | 三阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math] |
| 4 | 四阶循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math]、Klein 四元群 [math]\displaystyle{ V }[/math] / [math]\displaystyle{ K_4 }[/math] |
| 5 | 五阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math] |
| 6 | 六阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 、三次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] / 六阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math] |
| 7 | 七阶循环群 [math]\displaystyle{ C_7 }[/math] |
| 8 | 八阶循环群 [math]\displaystyle{ C_8 }[/math] 、八阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_8 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_4 \times C_2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 }[/math] 、四元数群 |