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[[分类:序理论]]{{DEFAULTSORT:shang4jie4xia4jie4}}
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|keywords=上界, 下界, 有界集
|description=本文介绍上界和下界的定义、性质及其在序理论中的应用，包括有界集的概念、上界与最大元的区别，以及这些概念在数学分析中的重要性。
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|published_time=2024-02-28
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'''上界'''('''upper bound''')和'''下界'''('''lower bound''')指在[[预序]]集中，对一个子集，大于等于或小于等于其全部元素的原预序集元素。
也就是有预序的集合中，大于等于或小于等于给定小集合全部元素的任意元素。

上界与下界互为[[对偶（序理论）|对偶]]。

== 定义 ==

对预序集 <math>(P, \preceq)</math> 及其子集 <math>S\subseteq P</math> ，若存在 <math>p \in P</math> 满足 <math>\forall s\in S (s \preceq p)</math> ，则称元素 <math>p</math> 是子集 <math>S</math> 的一个'''上界'''('''upper bound''')；
若存在 <math>p \in P</math> 满足 <math>\forall s\in S (p \preceq s)</math> ，则称元素 <math>p</math> 是子集 <math>S</math> 的一个'''下界'''('''lower bound''')。

若对一个子集 <math>S</math> 存在上界，称子集 <math>S</math> '''有上界'''(is '''bounded (from) above''')；若存在下界，称子集 <math>S</math> '''有下界'''(is '''bounded from below''')；若同时有上界和有下界，称子集 <math>S</math> '''有界'''(is '''bounded''')。

== 性质 ==

* 基本特征
** 上界是大于等于子集中所有元素的元素，下界是小于等于子集中所有元素的元素。
** 上界和下界都不一定存在，如果存在也不一定唯一。
** 上界和下界在预序集中，而不要求在子集中。
* 与极值元素的关系
** 若子集有最大元，则它也是该子集的上界；若子集有最小元，则它也是该子集的下界。
** 上界（下界）本身不唯一，比任意一个上界大的任意元素也都是上界（比下界小的也都是下界），上界（下界）集合内可能有最小元（最大元），即[[上确界、下确界]]。
* [[空集]]与[[包含关系]]
** 空集的上界是预序集中的每个元素；空集的下界是预序集中的每个元素。空集总是有界的。
** 若两个子集间存在包含关系， <math>A\subseteq B</math> ，则 <math>B</math> 的每个上界都是 <math>A</math> 的上界，每个下界也都是 <math>A</math> 的下界。


{{二元关系复合类型}}