上界、下界

上界
术语名称	上界
英语名称	upper bound
别名	majorant

下界
术语名称	下界
英语名称	lower bound
别名	minorant

有上界
术语名称	有上界
英语名称	bounded from above
别名	bounded above, majorized

有下界
术语名称	有下界
英语名称	bounded from below
别名	bounded below, minorized

上界(upper bound)和下界(lower bound)指对预序集中的子集，大于等于或小于等于其全部元素的原预序集元素。也就是大集合中大于等于或小于等于给定小集合全部元素的任意元素。

定义

对预序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] 及其子集 [math]\displaystyle{ S\subseteq P }[/math] ，若存在 [math]\displaystyle{ p \in P }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \forall s\in S (s \preceq p) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的一个上界(upper bound)；若存在 [math]\displaystyle{ p \in P }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \forall s\in S (p \preceq s) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的一个下界(lower bound)。

注：上界和下界不一定存在，如果存在也不一定唯一。

注：上界/下界包括任意更后/先的元素，不要求最贴近，要求最贴近的应该是上确界、下确界。

若对一个子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 存在上界，称子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 有上界(is bounded (from) above)；若存在下界，称子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 有下界(is bounded from below)；若同时有上界和有下界，称子集 <math>S</amth> 有界(is bounded)。

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全