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[[分类:序理论]]{{DEFAULTSORT:shang4que4jie4xia4que4jie4}}
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|keywords=上确界, 下确界, 最小上界, 最大下界, 确界, 紧上界, 紧下界
|description=本文介绍上确界和下确界的定义、性质及其在序理论中的应用，包括在偏序集中的唯一性、与上界下界的关系，以及在数学分析和格论中的重要性。
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|published_time=2024-04-06
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|name=上确界
|eng_name=supremum
|aliases=紧上界,tight upper bound,least upper bound
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|name=下确界
|eng_name=infimum
|aliases=紧下界,tight lower bound,greatest lower bound
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'''上确界'''('''supremum''')和'''下确界'''('''infimum''')指在[[预序]]集中，对一个子集，其全部[[上界、下界]]中最贴近子集的任意元素。
也就是有预序的集合中，给出大于等于或小于等于给定小集合的全部元素，选择其中最小或最大的元素。

上确界与下确界互为[[对偶（序理论）|对偶]]。

== 定义 ==

对预序集 <math>(P, \preceq)</math> 及其子集 <math>S\subseteq P</math> ：
* 若存在 <math>p \in P</math> 满足 <math>\forall s\in S (s \preceq p)</math> ，则称元素 <math>p</math> 是子集 <math>S</math> 的一个上界；对全体上界 <math>p</math> ，若存在 <math>q \in P</math> 满足 <math>q \preceq p</math> ，则称 <math>q</math> 是子集的一个'''上确界'''('''supreme''')；
* 若存在 <math>p \in P</math> 满足 <math>\forall s\in S (p \preceq s)</math> ，则称元素 <math>p</math> 是子集 <math>S</math> 的一个下界；对全体下界 <math>p</math> ，若存在 <math>q \in P</math> 满足 <math>p \preceq q</math> ，则称 <math>q</math> 是子集的一个'''下确界'''('''infimum''')。

若其中 <math>\preceq</math> 是一个[[偏序]]，若子集 <math>S</math> 有上确界则唯一，记作 <math>\sup S</math> ；若有下确界则也唯一，记作 <math>\inf S</math> 。

== 性质 ==

* 基本特征
** 上确界是上界集合中的最小元，下确界是下界集合中的最大元。
** 上确界和下确界都不一定存在。在预序集中，如果存在也不一定唯一。在偏序集中，如果存在就一定唯一。
** 上确界和下确界在预序集中、在上界下界集合中，而不要求在子集中。
* 与极值元素的关系
** 若子集有最大元，则它是该子集的上确界；若子集有最小元，则它是该子集的下确界。
* [[空集]]与[[包含关系]]
** 空集的上确界是预序集中的最小元（如果存在）；空集的下确界是预序集中的最大元（如果存在）。
** 若两个子集间存在包含关系， <math>A \subseteq B</math> ，则 <math>\sup A \preceq \sup B, \inf B \preceq \inf A</math> （如果存在）
* 运算性质
** 对任意子集 <math>A</math> 和 <math>B</math> ，如果相应集合的上确界和下确界存在，则 <math>\sup(A \cup B) = \sup \{\sup A, \sup B\}, \inf(A \cup B) = \inf\{\inf A, \inf B\}</math>


{{二元关系复合类型}}