上确界、下确界
| 上确界 | |
|---|---|
| 术语名称 | 上确界 |
| 英语名称 | supremum |
| 别名 | 紧上界, tight upper bound, least upper bound |
| 下确界 | |
|---|---|
| 术语名称 | 下确界 |
| 英语名称 | infimum |
| 别名 | 紧下界, tight lower bound, greatest lower bound |
上确界(supreme)和下确界(infimum)指对偏序集的子集，其全部上界、下界中最贴近的任意元素。也就是大集合中大于等于或小于等于给定小集合全部元素的元素中最小或最大的那个或那几个。
定义
对预序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] 及其子集 [math]\displaystyle{ S\subseteq P }[/math] ：
- 若存在 [math]\displaystyle{ p \in P }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \forall s\in S (s \preceq p) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的一个上界，对全体上界 [math]\displaystyle{ p }[/math] ，若存在 [math]\displaystyle{ q \in P }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ q \preceq p }[/math] ，则称 [math]\displaystyle{ q }[/math] 是子集的一个上确界(supreme)；
- 若存在 [math]\displaystyle{ p \in P }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \forall s\in S (p \preceq s) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的一个下界，对全体下界 [math]\displaystyle{ p }[/math] ，若存在 [math]\displaystyle{ q \in P }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ p \preceq q }[/math] ，则称 [math]\displaystyle{ q }[/math] 是子集的一个下确界(infimum)。
注：上确界和下确界不一定存在，如果存在也不一定唯一。
若其中 [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 是一个偏序，若子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 有上确界则唯一，记作 [math]\displaystyle{ \sup S }[/math] ；若有下确界则也唯一，记作 [math]\displaystyle{ \inf S }[/math] 。
| 二元关系复合类型 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 名称 | 自反、反自反 | 对称、反对称 | 传递 | 其他 | |
| 预序 | 自反 | - | 传递 | - | |
| 等价关系 | 自反 | 对称 | 传递 | - | |
| 方向 | 自反 | - | 传递 | 有上/下界 | |
| 偏序 | 自反 | 反对称 | 传递 | - | |
| 弱序/全序划分 | 自反 | - | 传递 | 完全 | |
| 全序 | 自反 | 反对称 | 传递 | 完全 | |
| 良序 | 自反 | 反对称 | 传递 | 完全、良基 | |
| 不对称 | 反自反 | 反对称 | - | - | |
| 拟序/严格偏序 | 反自反 | 反对称 | 传递 | - | |
| 严格弱序/严格全序划分 | 反自反 | 反对称 | 传递 | 不可比关系传递 | |
| 严格全序 | 反自反 | 反对称 | 传递 | 完全 | |