查看“︁不交并”︁的源代码

[[分类:集合]]{{DEFAULTSORT:bu4jiao1bing4}}
{{#seo:
|keywords=不交并, 不相交并集, disjoint union
|description=不交并是一种集合运算，通过给元素添加索引来确保即使原集合有交集，新集合中的元素也互不相同，常用于保持集合内部结构并忽略集合间关系，与范畴论中的余积概念相关。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2023-08-11
}}
{{InfoBox
|name=不相交并集
|eng_name=disjoint union
|aliases=不交并
}}
'''不交并'''('''disjoint union''')是对两个或多个[[集合]]，将其元素复制并添加下标标记，从而构建一个新集合。即使原集合有交集，添加下标的过程也确保了所有元素互不相同。

在新的集合中，这些元素一般用某种代表来源集合的索引（下标）表示。
不交并的主要意义是保持结构，一般作为一种保持各自集合内部结构、且忽略集合之间关系的[[并集]]使用，此时也不再使用集合的[[相等关系（集合）|相等]]，而是某种意义上的[[同构]]关系；
因此，不交并中索引的选择是不唯一的、任意的。
尽管不交并改变了集合中元素，由于其往往在同构而非完全相等的意义下研究，不会单独使用不交并的具体元素。

== 定义 ==

{{Operation
|name=不相交并集
|symbol=<math>\sqcup</math>,<math>\coprod</math>
|latex=\sqcup,\coprod
|operand=集合
|operand_num=≥0
|result=集合
}}
对集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> ，定义集合 <math>(A \times \{0\}) \cup (B \times \{1\})</math> ，叫做集合 <math>A</math> 与集合 <math>B</math> 的'''不相交并集'''('''disjoint union''')，简称'''不交并'''，记作 <math>A \sqcup B</math>。

也有人使用 <math>A \uplus B</math> 等符号.
特别地，在[[:分类:范畴论|范畴论]]中，不交并对应[[积、余积|余积]]，因此在对应领域里也常借用余积的符号 <math>A \coprod B</math> 。

{{CharMetaInfo
|char=&#x2294;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+2294|Square Cup}}
|latex=\sqcup
}}
{{CharMetaInfo
|char=&#x228E;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+228E|Multiset Union}}
|latex=\uplus
}}
{{CharMetaInfo
|char=&#x2210;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+2210|N-ary Coproduct}}
|latex=\coprod
}}

注意：上述表示是标准形式之一，但不交并的定义不唯一。这一运算的核心思想中，目的为保持各集合的内部结构，而其手段为通过给元素添加索引来复制元素，确保即使原集合有交集，新集合中的元素也互不相同。比如也有人使用 <math>(\{0\} \times A) \cup (\{1\} \times B)</math> 以及 <math>(A \times \{1\}) \cup (B \times \{2\})</math> 等，因为在考虑结构而非具体元素时，这些形式本质相同。

通过[[包含映射]]，我们将原集合视为不交并的子结构（可视为[[子集]]）：定义 <math>\iota_A: A \to A \sqcup B; (x, 0)</math> ，类似定义 <math>\iota_B: B \to A \sqcup B; x \mapsto (x, 1)</math> 。这些映射是单射，且元素 <math>\iota_A(x)</math> 和 <math>\iota_B(x)</math> 互不相同，即使 <math>x</math> 在 <math>A</math> 和 <math>B</math> 中同时存在。

== 多元不相交并集 ==

对集合 <math>A_1, A_2, \dots , A_n</math> ，定义集合 <math>(A_1 \times \{1\}) \cup (A_2 \times \{2\}) \cup \dots \cup (A_n \times \{n\})</math>  ，叫做这些集合的'''不相交并集'''('''disjoint union''')，简称'''不交并'''，记作 <math>A_1 \sqcup A_2 \sqcup \dots \sqcup A_n</math> 。也记作 <math>\bigsqcup_{i=1}^n A_i</math> 。

对应地也被记作 <math>\biguplus_{i=1}^n A_i</math> 和 <math>\coprod_{i=1}^n A_i</math> 等。

多个集合的不交并集与两两计算不交并集，尽管元素本身的元组结构有差异，但元素间结构的意义上相同，即同构意义下相同。使用不交并的场景都不关注具体元素，因此不做区分。

在此基础上， 1 个集合的不交并定义为 <math>A\times {1}</math> , 结构上与集合自身完全相同，也可以在同构意义下认为是 <math>A</math> ； 0 个集合的不交并是 0 个的集合的笛卡尔积，即关于 [[0-元组]]的单元素集 <math>\{()\}</math> ，也可以在同构意义下认为是空集 <math>\varnothing</math>。

== 指标集上的不相交并集 ==

对指标集形式的[[集族]] <math>A = \{A_i\}_{i\in I}</math> ，定义集合 <math>\bigcup_{i\in I} (A_i \times \{i\})</math>  ，叫做集族中全体集合的'''不相交并集'''('''disjoint union''')，简称'''不交并'''，记作 <math>\bigsqcup_{i\in I} A_i = \bigsqcup \{A_i\}_{i \in I}</math> 。

对应地也记作 <math>\biguplus_{i\in I} A_i = \biguplus \{A_i\}_{i \in I}</math> 和 <math>\coprod_{i\in I} A_i = \coprod \{A_i\}_{i \in I}</math> 等。


{{集合}}