不交并
不交并(disjoint union)是对两个或多个集合，将这些集合的元素复制为不同元素，并再次构成的新的集合。
在新的集合中，这些元素互不相同，一般用某种来源集合的下标表示。 由于下标本身有一定任意性，单独使用不交并的结果本身往往不具有意义，通常会和其他运算一同出现， 概念上作为一种保持各自集合内部结构、并忽略集合之间关系的并集使用。
定义
| 不相交并集 | |
|---|---|
| 运算名称 | 不相交并集 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ \sqcup }[/math],[math]\displaystyle{ \coprod }[/math] |
| Latex | \sqcup , \coprod
|
| 运算对象 | 集合 |
| 运算元数 | 2 |
| 运算结果 | 集合
|
对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，定义集合 [math]\displaystyle{ (A \times \{0\}) \cup (B \times \{1\}) }[/math] ，叫做集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 与集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的不相交并集(disjoint union)，简称不交并，记作 [math]\displaystyle{ A \sqcup B }[/math]。
也有人使用 [math]\displaystyle{ A \uplus B }[/math] 、 [math]\displaystyle{ A ⊍ B }[/math] 等符号. 特别地，在范畴论中，不交并对应余积，因此在对应领域里也常用余积的符号 [math]\displaystyle{ A \coprod B }[/math] 。
注意：这个表示不唯一，重点是把原来的元素复制成不同的。比如 [math]\displaystyle{ (\{0\} \times A) \cup (\{1\} \times B) }[/math] 以及 [math]\displaystyle{ (A \times \{1\}) \cup (B \times \{2\}) }[/math] 之类的也有人会使用。
在表达上，通常不区分 [math]\displaystyle{ A }[/math] （或 [math]\displaystyle{ B }[/math] ）中的元素和 [math]\displaystyle{ A\sqcup B }[/math] 中的元素，尽管增加了额外的标记，也仍然认为集合间存在包含映射；但是仍要认为 [math]\displaystyle{ A\sqcup B }[/math] 中对应元素互不相同，一个被标记了是 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的元素，另一个被标记了 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的元素。
| ⊔ | |
|---|---|
| 字符 | ⊔ |
| Unicode码位 | U+2294 Square Cup
|
| Latex命令序列 | \sqcup
|
| ⊎ | |
|---|---|
| 字符 | ⊎ |
| Unicode码位 | U+228E Multiset Union
|
| Latex命令序列 | \uplus
|
| ⊍ | |
|---|---|
| 字符 | ⊍ |
| Unicode码位 | U+228D Multiset Multiplication
|
| ∐ | |
|---|---|
| 字符 | ∐ |
| Unicode码位 | U+2210 N-ary Coproduct
|
| Latex命令序列 | \coprod
|
多元不相交并集
对集合 [math]\displaystyle{ A_1, A_2, \dots , A_n }[/math] ，定义集合 [math]\displaystyle{ (A_1 \times \{1\}) \cup (A_2 \times \{2\}) \cup \dots \cup (A_n \times \{n\}) }[/math] ，叫做这些集合的不相交并集(disjoint union)，记作 [math]\displaystyle{ A_1 \sqcup A_2 \sqcup \dots \sqcup A_n }[/math] 。也记作 [math]\displaystyle{ \bigsqcup_{i=1}^n A_i }[/math] 。
对应地也被记作 [math]\displaystyle{ \biguplus_{i=1}^n A_i }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \coprod_{i=1}^n A_i }[/math] 等。
在此基础上，1个集合的并集定义为集合自身，0个集合的并集定义为空集。
多个集合的并集与依次并集相同，所以不需要做区分。
指标集上的不相交并集
对指标集形式的集族 [math]\displaystyle{ A = \{A_i\}_{i\in I} }[/math] ，定义集合 [math]\displaystyle{ \bigcup_{i\in I} (A_i \times \{i\}) }[/math] ，叫做集族中全体集合的不相交并集(disjoint union)，记作 [math]\displaystyle{ \bigsqcup_{i\in I} A_i = \bigsqcup \{A_i\}_{i \in I} }[/math] 。
对应地也记作 [math]\displaystyle{ \biguplus_{i\in I} A_i = \biguplus \{A_i\}_{i \in I} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \coprod_{i\in I} A_i = \coprod \{A_i\}_{i \in I} }[/math] 等。