不交并
| 不相交并集 | |
|---|---|
| 术语名称 | 不相交并集 |
| 英语名称 | disjoint union |
| 别名 | 不交并 |
不交并(disjoint union)是对两个或多个集合，将其元素复制并添加下标标记，从而构建一个新集合。即使原集合有交集，添加下标的过程也确保了所有元素互不相同。
在新的集合中，这些元素一般用某种代表来源集合的索引（下标）表示。 不交并的主要意义是保持结构，一般作为一种保持各自集合内部结构、且忽略集合之间关系的并集使用，此时也不再使用集合的相等，而是某种意义上的同构关系； 因此，不交并中索引的选择是不唯一的、任意的。 尽管不交并改变了集合中元素，由于其往往在同构而非完全相等的意义下研究，不会单独使用不交并的具体元素。
定义
| 不相交并集 | |
|---|---|
| 运算名称 | 不相交并集 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ \sqcup }[/math],[math]\displaystyle{ \coprod }[/math] |
| Latex | \sqcup, \coprod
|
| 运算对象 | 集合 |
| 运算元数 | ≥0 |
| 运算结果 | 集合
|
对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，定义集合 [math]\displaystyle{ (A \times \{0\}) \cup (B \times \{1\}) }[/math] ，叫做集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 与集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的不相交并集(disjoint union)，简称不交并，记作 [math]\displaystyle{ A \sqcup B }[/math]。
也有人使用 [math]\displaystyle{ A \uplus B }[/math] 等符号. 特别地，在范畴论中，不交并对应余积，因此在对应领域里也常借用余积的符号 [math]\displaystyle{ A \coprod B }[/math] 。
| ⊔ | |
|---|---|
| 字符 | ⊔ |
| Unicode码位 | U+2294 Square Cup
|
| Latex命令序列 | \sqcup
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| ⊎ | |
|---|---|
| 字符 | ⊎ |
| Unicode码位 | U+228E Multiset Union
|
| Latex命令序列 | \uplus
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| ∐ | |
|---|---|
| 字符 | ∐ |
| Unicode码位 | U+2210 N-ary Coproduct
|
| Latex命令序列 | \coprod
|
注意：上述表示是标准形式之一，但不交并的定义不唯一。这一运算的核心思想中，目的为保持各集合的内部结构，而其手段为通过给元素添加索引来复制元素，确保即使原集合有交集，新集合中的元素也互不相同。比如也有人使用 [math]\displaystyle{ (\{0\} \times A) \cup (\{1\} \times B) }[/math] 以及 [math]\displaystyle{ (A \times \{1\}) \cup (B \times \{2\}) }[/math] 等，因为在考虑结构而非具体元素时，这些形式本质相同。
通过包含映射，我们将原集合视为不交并的子结构（可视为子集）：定义 [math]\displaystyle{ \iota_A: A \to A \sqcup B; (x, 0) }[/math] ，类似定义 [math]\displaystyle{ \iota_B: B \to A \sqcup B; x \mapsto (x, 1) }[/math] 。这些映射是单射，且元素 [math]\displaystyle{ \iota_A(x) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \iota_B(x) }[/math] 互不相同，即使 [math]\displaystyle{ x }[/math] 在 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] 中同时存在。
多元不相交并集
对集合 [math]\displaystyle{ A_1, A_2, \dots , A_n }[/math] ，定义集合 [math]\displaystyle{ (A_1 \times \{1\}) \cup (A_2 \times \{2\}) \cup \dots \cup (A_n \times \{n\}) }[/math] ，叫做这些集合的不相交并集(disjoint union)，简称不交并，记作 [math]\displaystyle{ A_1 \sqcup A_2 \sqcup \dots \sqcup A_n }[/math] 。也记作 [math]\displaystyle{ \bigsqcup_{i=1}^n A_i }[/math] 。
对应地也被记作 [math]\displaystyle{ \biguplus_{i=1}^n A_i }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \coprod_{i=1}^n A_i }[/math] 等。
多个集合的不交并集与两两计算不交并集，尽管元素本身的元组结构有差异，但元素间结构的意义上相同，即同构意义下相同。使用不交并的场景都不关注具体元素，因此不做区分。
在此基础上， 1 个集合的不交并定义为 [math]\displaystyle{ A\times {1} }[/math] , 结构上与集合自身完全相同，也可以在同构意义下认为是 [math]\displaystyle{ A }[/math] ； 0 个集合的不交并是 0 个的集合的笛卡尔积，即关于 0-元组的单元素集 [math]\displaystyle{ \{()\} }[/math] ，也可以在同构意义下认为是空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]。
指标集上的不相交并集
对指标集形式的集族 [math]\displaystyle{ A = \{A_i\}_{i\in I} }[/math] ，定义集合 [math]\displaystyle{ \bigcup_{i\in I} (A_i \times \{i\}) }[/math] ，叫做集族中全体集合的不相交并集(disjoint union)，简称不交并，记作 [math]\displaystyle{ \bigsqcup_{i\in I} A_i = \bigsqcup \{A_i\}_{i \in I} }[/math] 。
对应地也记作 [math]\displaystyle{ \biguplus_{i\in I} A_i = \biguplus \{A_i\}_{i \in I} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \coprod_{i\in I} A_i = \coprod \{A_i\}_{i \in I} }[/math] 等。