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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=不动点
|eng_name=fixed point
}}
{{InfoBox
|name=不动点集
|eng_name=set of fixed points
}}
'''不动点'''('''fixed point''')指[[群作用]]中，对某个[[群]]元素（或任意[[群]]元素）作用时都不变的[[集合]]元素。其集合称为这一群元素在群作用中（或群作用中）的'''不动点集'''('''set of fixed points''')。

群作用的不动点也可以被描述为具有平凡轨道的元素。

== 定义 ==

对群 <math>G</math> 在集合 <math>X</math> 上的群作用，对群元素 <math>g\in G</math> 和集合元素 <math>x\in X</math> ，若 <math>g \cdot x = x</math> ，称元素 <math>x</math> 是群元素 <math>g</math> 在群作用中的一个不动点(fixed point)，其集合 <math>\{x\in X \mid g \cdot x = x \}</math> 称为群元素在群作用中的不动点集(set of fixed points)，记作 <math>X^g</math> 。

对群 <math>G</math> 在集合 <math>X</math> 上的群作用，对集合元素 <math>x\in X</math> ，若 <math>(\forall g\in G) (g \cdot x = x)</math> ，称 <math>x</math> 是群作用的一个'''不动点'''('''fixed point''')。全体不动点的集合 <math>\{x\in X\mid (\forall g\in G)(g \cdot x = x) \}</math> 称为群作用的'''不动点集'''('''set of fixed points''')，记作 <math>X^G</math> 或 <math>\mathrm{Fix}_G(X)</math> 。

注：有些情况下不使用第一条定义，即使用不动点一词时就是群的，而不是元素的。

== 性质 ==

<math>a \in \mathrm{Fix}_G(X) \Leftrightarrow \mathrm{Stab}_G(a) = G</math>


{{群论}}