不动点（群作用）
| 不动点 | |
|---|---|
| 术语名称 | 不动点 |
| 英语名称 | fixed point |
| 不动点集 | |
|---|---|
| 术语名称 | 不动点集 |
| 英语名称 | set of fixed points |
不动点(fixed point)指群作用中，对某个群元素（或任意群元素）作用时都不变的集合元素。其集合称为这一群元素在群作用中（或群作用中）的不动点集(set of fixed points)。
群作用的不动点也可以被描述为具有平凡轨道的元素。
定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 在集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的群作用，对群元素 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] 和集合元素 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ g \cdot x = x }[/math] ，称元素 [math]\displaystyle{ x }[/math] 是群元素 [math]\displaystyle{ g }[/math] 在群作用中的一个不动点(fixed point)，其集合 [math]\displaystyle{ \{x\in X \mid g \cdot x = x \} }[/math] 称为群元素在群作用中的不动点集(set of fixed points)，记作 [math]\displaystyle{ X^g }[/math] 。
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 在集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的群作用，对集合元素 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\forall g\in G) (g \cdot x = x) }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ x }[/math] 是群作用的一个不动点(fixed point)。全体不动点的集合 [math]\displaystyle{ \{x\in X\mid (\forall g\in G)(g \cdot x = x) \} }[/math] 称为群作用的不动点集(set of fixed points)，记作 [math]\displaystyle{ X^G }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \mathrm{Fix}_G(X) }[/math] 。
注：有些情况下不使用第一条定义，即使用不动点一词时就是群的，而不是元素的。
性质
[math]\displaystyle{ a \in \mathrm{Fix}_G(X) \Leftrightarrow \mathrm{Stab}_G(a) = G }[/math]