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[[分类:二元关系]]{{DEFAULTSORT:bu2dui4chen4guan1xi5}}
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|keywords=不对称关系, 强反对称关系, 不对称性, 强反对称性
|description=本文介绍不对称关系的定义、基本性质及其在二元关系理论中的特征，包括不对称关系的关系矩阵表示和与严格偏序的等价关系。
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|name=不对称关系
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'''不对称关系'''('''asymmetric relation''')指[[集合]]上的一个二元[[关系]]中，任意两个元素（可能相同）若有关系，则交换顺序后一定无关系。
不对称关系同时是[[反对称关系]]和[[反自反关系]]。

== 定义 ==

对集合 <math>X</math> 上的二元关系 <math>R</math> ，若 <math>\forall a \in X \forall b \in X \lnot(a R b \land b R a)</math>，称：
* 关系 <math>R</math> 是'''不对称的'''('''asymmetric''')，
* 关系 <math>R</math> 有'''不对称性'''('''asymmetry''')，
* 关系 <math>R</math> 是'''不对称关系'''('''asymmetric relation''')。

等价定义：
* 与自身[[逆关系]][[不相交]]的关系，即 <math>R \cap R^\mathrm{T} = \varnothing</math> 。

== 性质 ==

* 表示
** 一个关系是不对称关系当且仅当关系矩阵满足：对任意 <math>i,j</math> ，不能同时有 <math>r_{ij}=1</math> 和 <math>r_{ji}=1</math> 。特别地，当 <math>i=j</math> 时有 <math>r_{ii}=0</math> 。
** 一个关系是不对称关系当且仅当关系图中，任意顶点上都没有自环，且任意两个不同顶点之间最多有一条有向边（没有双向边）。
* 关系简单运算相关性质
** 不对称关系的[[交关系|交]]仍是不对称关系。
** 不对称关系的[[并关系|并]]'''不一定'''是不对称关系。
** 不对称关系的[[复合（关系）|复合]]'''不一定'''是不对称关系。
** 不对称关系的[[逆关系]]仍是不对称关系。
** 不对称关系的[[补关系|补]]一定是[[自反关系]]，但'''不一定'''是[[对称关系]]或[[反对称关系]]，如果不是空集上，也'''一定不'''是不对称关系。
* 关系闭包运算相关性质
** 不对称关系的[[自反闭包]]是其与恒等关系的并关系。
** 不对称关系的[[传递闭包]]'''不一定'''是不对称关系。
** 不对称关系的[[对称闭包]]'''不一定'''是不对称关系。
* 参与特殊类型关系
** 所有[[严格偏序]]都是不对称关系。
** 对称关系与[[不对称关系]]不互相排斥（同时是对称的且不对称的当且仅当是空关系）。
** 不对称关系总是反对称关系、反自反关系。
** 反对称关系同时是反自反关系的关系一定是不对称关系。
** [[传递关系]]同时是反自反关系的关系一定是不对称关系。


{{关系}}
{{二元关系复合类型}}

== 参考资料 ==

# [https://en.wikipedia.org/wiki/Asymmetric_relation Asymmetric Relation - Wikipedia]