不对称关系

不对称关系
术语名称	不对称关系
英语名称	asymmetric relation
别名	强反对称关系

不对称关系(asymmetric relation)指集合上的一个二元关系中，所有有关系的元素对交换顺序后无关系。不对称关系同时是反对称关系和反自反关系。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \lnot R b \lor b \lnot R a) }[/math]，称关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是不对称的(asymmetric)，关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 有不对称性(asymmetry)，及关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是不对称关系(asymmetric relation)。

以上定义等价于 [math]\displaystyle{ R \cap R^\mathrm{T} = \varnothing }[/math] 。

性质

不对称关系的关系矩阵，所有以对角线为轴对称的位置，包括对角线上，不存在同时是 1 的情况。

一个关系是不对称关系，当且仅当，这个关系是反自反关系和反对称关系。

如果一个关系同时是反自反关系和传递关系，则也一定构成不对称关系。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全

参考资料

1. Asymmetric Relation - Wikipedia