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[[分类:数的运算]]
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|name=中间分数
|eng_name=mediant
|aliases=中位分数,法里中项,法里和
}}
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|name=加权中间分数
|eng_name=weighted mediant
|aliases=加权中位分数
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'''mediant''' 指两个分数分子分母分别相加得到的新分数。这个分数总是介于两个分数之间。

{{非标准翻译}}

== 定义 ==

对任意写成分数形式的有理数 <math>\tfrac{a}{b}</math> 和 <math>\tfrac{c}{d}</math> ，记有理数 <math>\tfrac{a+c}{b+d}</math> ，称为有理数 <math>\tfrac{a}{b}</math> 和 <math>\tfrac{c}{d}</math> 的'''中间分数'''('''mediant''')。

注：有理数定义中的等价关系是有理数定义的一部分，这里使用同一个有理数的不同表示（如 <math>\tfrac{a}{b}</math> 和 <math>\tfrac{2a}{2b}</math>）能得到不同的结果，因此这个定义严格地说不是有理数上的一个二元函数，因此也不是有理数上的二元运算，应视为四个数到一个或两个数的一个函数。如果限制这两个有理数必须用最简分数形式表示，并按上述规则映射到唯一有理数，此时是有理数的二元运算。此时最简分数的中间分数也被称为'''<ins>法里</ins>中项'''，因为这正好是[[Farey 数列|<ins>法里</ins>数列]]中连续三项之间的典型关系，这一运算也称为'''<ins>法里</ins>和'''。

由于此处不限制有理数写成分数的形式，可以认为对最简分数 <math>\tfrac{a}{b}</math> 和 <math>\tfrac{c}{d}</math> ，以及任意正有理数（或正实数） <math>t</math> ，有理数（或实数） <math>\tfrac{a + t c}{b + t d}</math> 广义上也可以看作两个最简分数的中间分数，称为'''加权中间分数'''('''weighted mediant''')。

一般地，这一概念可以推广到多个分数，即 <math>\tfrac{a_1}{b_1}, \tfrac{a_2}{b_2}, \dots, \tfrac{a_n}{b_n}</math> ，此时称 <math>\tfrac{\sum_i a_i}{\sum_i b_i}</math> 为其'''中间分数'''('''mediant''')，并称 <math>\tfrac{\sum_i w_i a_i}{\sum_i w_i b_i}</math> 为其'''加权中间分数'''('''weighted mediant''')。

== 定理 ==

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|name=中间分数不等式
|eng_name=the mediant inequality
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如果两个分数不等，有'''中间分数不等式'''：

<math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \land bd > 0 \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}</math>

即：如果两个分数分母同号，则两个分数的中间分数必介于两个分数之间。

否则三个数相等： <math>\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d} = \tfrac{a + c}{b + d}</math>

进一步地，如果是多个分数，且分母同号，则结果一定位于这些分数的最大最小两个数之间。

== 几何意义 ==

两个 x 轴分量同号的[[向量]] <math>(a,b)</math> 和 <math>(c,d)</math> ，所在直线斜率分别为 <math>\tfrac{b}{a}</math> 和 <math>\tfrac{d}{c}</math> ，其[[向量加法|向量和]] <math>(a+c,b+d)</math> 的斜率就是中间分数 <math>\tfrac{b+d}{a+c}</math> 。而加权中间分数 <math>\tfrac{b + t d}{a + t c}</math> 是其所有[[正线性组合]]所在直线斜率的可能取值范围，根据中间分数不等式知一定在两个斜率之间。