中间分数
| 中间分数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 中间分数 |
| 英语名称 | mediant |
| 别名 | 中位分数, 法里中项, 法里和 |
| 加权中间分数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 加权中间分数 |
| 英语名称 | weighted mediant |
| 别名 | 加权中位分数 |
mediant 指两个分数分子分母分别相加得到的新分数。这个分数总是介于两个分数之间。
本条目没有一致可信的中文译名。
定义
对任意写成分数形式的有理数 [math]\displaystyle{ \tfrac{a}{b} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \tfrac{c}{d} }[/math] ，记有理数 [math]\displaystyle{ \tfrac{a+c}{b+d} }[/math] ，称为有理数 [math]\displaystyle{ \tfrac{a}{b} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \tfrac{c}{d} }[/math] 的中间分数(mediant)。
注：有理数定义中的等价关系是有理数定义的一部分，这里使用同一个有理数的不同表示（如 [math]\displaystyle{ \tfrac{a}{b} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \tfrac{2a}{2b} }[/math]）能得到不同的结果，因此这个定义严格地说不是有理数上的一个二元函数，因此也不是有理数上的二元运算，应视为四个数到一个或两个数的一个函数。如果限制这两个有理数必须用最简分数形式表示，并按上述规则映射到唯一有理数，此时是有理数的二元运算。此时最简分数的中间分数也被称为法里中项，因为这正好是法里数列中连续三项之间的典型关系，这一运算也称为法里和。
由于此处不限制有理数写成分数的形式，可以认为对最简分数 [math]\displaystyle{ \tfrac{a}{b} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \tfrac{c}{d} }[/math] ，以及任意正有理数（或正实数） [math]\displaystyle{ t }[/math] ，有理数（或实数） [math]\displaystyle{ \tfrac{a + t c}{b + t d} }[/math] 广义上也可以看作两个最简分数的中间分数，称为加权中间分数(weighted mediant)。
一般地，这一概念可以推广到多个分数，即 [math]\displaystyle{ \tfrac{a_1}{b_1}, \tfrac{a_2}{b_2}, \dots, \tfrac{a_n}{b_n} }[/math] ，此时称 [math]\displaystyle{ \tfrac{\sum_i a_i}{\sum_i b_i} }[/math] 为其中间分数(mediant)，并称 [math]\displaystyle{ \tfrac{\sum_i w_i a_i}{\sum_i w_i b_i} }[/math] 为其加权中间分数(weighted mediant)。
定理
| 中间分数不等式 | |
|---|---|
| 术语名称 | 中间分数不等式 |
| 英语名称 | the mediant inequality |
如果两个分数不等，有中间分数不等式：
[math]\displaystyle{ \frac{a}{b} \lt \frac{c}{d} \land bd \gt 0 \Rightarrow \frac{a}{b} \lt \frac{a + c}{b + d} \lt \frac{c}{d} }[/math]
即：如果两个分数分母同号，则两个分数的中间分数必介于两个分数之间。
否则三个数相等： [math]\displaystyle{ \tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d} = \tfrac{a + c}{b + d} }[/math]
进一步地，如果是多个分数，且分母同号，则结果一定位于这些分数的最大最小两个数之间。
几何意义
两个 x 轴分量同号的向量 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ (c,d) }[/math] ，所在直线斜率分别为 [math]\displaystyle{ \tfrac{b}{a} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \tfrac{d}{c} }[/math] ，其向量和 [math]\displaystyle{ (a+c,b+d) }[/math] 的斜率就是中间分数 [math]\displaystyle{ \tfrac{b+d}{a+c} }[/math] 。而加权中间分数 [math]\displaystyle{ \tfrac{b + t d}{a + t c} }[/math] 是其所有正线性组合所在直线斜率的可能取值范围，根据中间分数不等式知一定在两个斜率之间。