查看“︁主理想”︁的源代码

[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=主理想
|eng_name=principal ideal
}}
{{InfoBox
|name=左主理想
|eng_name=left principal ideal
}}
{{InfoBox
|name=右主理想
|eng_name=right principal ideal
}}
{{InfoBox
|name=双侧主理想
|eng_name=two-sided principal ideal
}}
'''主理想'''('''principal ideal''')指[[环]]中由单个元素与环中全部元素运算后构成的集合是环的一个[[理想]]。

== 定义 ==

对群 <math>\langle R,+,\cdot \rangle</math> 及元素 <math>a \in R</math> ，子集 <math>Ra</math> 是环的左理想，称为由 <math>a</math> 生成的'''左主理想'''('''left principal ideal''' generated by <math>a</math> )。类似地， <math>Ra</math> 是环的右理想，称为由 <math>a</math> 生成的'''右主理想'''('''right principal ideal''' generated by <math>a</math> )； <math>RaR</math> 是环的双侧理想，称为由 <math>a</math> 生成的'''双侧主理想'''('''two-sided principal ideal''' generated by <math>a</math> )。
对于[[交换环]]，左右主理想相同，称为由 <math>a</math> 生成的'''主理想'''('''principal ideal''' generated by <math>a</math> )，记作 <math>(a)</math> 。如果交换环的一个理想可以表示为一个主理想，也说这个理想是主理想(is principal)。

== 性质 ==

环零元生成的主理想 <math>(0)</math> 是[[零理想]] <math>\{0_R\}</math> ，环幺元生成的主理想 <math>(1)</math> 是[[单位理想]] <math>R</math> 。


{{环与模与域}}