| 主理想
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| 术语名称
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主理想
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| 英语名称
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principal ideal
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| 左主理想
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| 术语名称
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左主理想
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| 英语名称
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left principal ideal
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| 右主理想
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| 术语名称
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右主理想
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| 英语名称
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right principal ideal
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| 双侧主理想
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| 术语名称
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双侧主理想
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| 英语名称
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two-sided principal ideal
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主理想(principal ideal)指环中由单个元素与环中全部元素运算后构成的集合是环的一个理想。
定义
对群 [math]\displaystyle{ \langle R,+,\cdot \rangle }[/math] 及元素 [math]\displaystyle{ a \in R }[/math] ，子集 [math]\displaystyle{ Ra }[/math] 是环的左理想，称为由 [math]\displaystyle{ a }[/math] 生成的左主理想(left principal ideal generated by [math]\displaystyle{ a }[/math] )。类似地， [math]\displaystyle{ Ra }[/math] 是环的右理想，称为由 [math]\displaystyle{ a }[/math] 生成的右主理想(right principal ideal generated by [math]\displaystyle{ a }[/math] )； [math]\displaystyle{ RaR }[/math] 是环的双侧理想，称为由 [math]\displaystyle{ a }[/math] 生成的双侧主理想(two-sided principal ideal generated by [math]\displaystyle{ a }[/math] )。
对于交换环，左右主理想相同，称为由 [math]\displaystyle{ a }[/math] 生成的主理想(principal ideal generated by [math]\displaystyle{ a }[/math] )，记作 [math]\displaystyle{ (a) }[/math] 。如果交换环的一个理想可以表示为一个主理想，也说这个理想是主理想(is principal)。
性质
环零元生成的主理想 [math]\displaystyle{ (0) }[/math] 是零理想 [math]\displaystyle{ \{0_R\} }[/math] ，环幺元生成的主理想 [math]\displaystyle{ (1) }[/math] 是单位理想 [math]\displaystyle{ R }[/math] 。
模板:环与模与域
