查看“︁乘法”︁的源代码

[[分类:数的运算]]
{{InfoBox
|name=乘法
|eng_name=multiplicator
}}
{{InfoBox
|name=乘数
|eng_name=factor
|aliases=multiplier,因数,因子,factor
}}
{{InfoBox
|name=被乘数
|eng_name=multiplicand
}}
{{InfoBox
|name=积
|eng_name=product
}}
'''乘法'''('''multiplication''')是一个二元[[运算]]，是[[四则运算]]之一。

乘法运算是第 2 级[[超运算]]，也就是说，[[自然数]]上的乘法运算可以看作重复自然数的[[加法]]运算，即“将一个数不断重复加上自身”的简写。

自然数上的乘法由[[Peano 公理#乘法公理|Peano 乘法公理]]公理化。

自然数上的乘法可以随着自然数到其他数系的构造被直接延拓。
本条目限制在实数范围。对其他更复杂数系，以及其他数以外的数学对象的加法，参考各自的条目。

== 描述 ==

{{Operation
|name=乘法
|symbol=<math>\times</math>,<math>\cdot</math>
|latex=\times,\cdot
|operand=数
|result=数
}}
表达倍数或两个数互相的累积的运算称为乘法。
其中，两个相乘的数称为'''乘数'''('''multiplier''')，也称为因数('''factor''')，结果称为'''积'''('''product''')。
数 <math>a</math> 和数 <math>b</math> 的积记作 <math>a\times b</math> ，也记作 <math>a \cdot b</math> ，不都是直接的数字表示时也记作 <math>ab</math> ，读作 '''<math>a</math> 乘以 <math>b</math>''' ('''<math>a</math> times <math>b</math> / <math>a</math> (multiplied) by <math>b</math>''' / <math>a</math> doubled/tripled/…)。对于数的乘法， <math>a</math> 乘以 <math>b</math> 也可以简略为 '''<math>a</math> 乘 <math>b</math>''' (single/double/triple/… <math>b</math>)。
{{CharMetaInfo
|char=&#xD7;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+00D7|Multiplication sign}}<ref>有别名 {{UnicodeName|Z Notation Cartesian Product}}。</ref>
|latex=\times
}}

乘法也通常用于表达计数的倍数，或变化量的倍数，或两个有互相累积关系的量的累计结果的运算。

注意：按照通常习惯，算术算式中，表达某数的倍数时，应当将原来的数放在被乘数位置，倍数放在乘数位置，以表达乘法是用“乘数”（加倍中使用的倍数）对“被乘数”（被加倍的数）进行加倍的过程。对有约定顺序以及其他不允许交换位置的情况，需要严格区分“乘数”“被乘数”，且此时短语“<math>a</math> 乘 <math>b</math>”应理解为 <math>a</math> 倍的 <math>b</math> ，即 <math>b</math> 乘以 <math>a</math> 。也就是说，在不可以交换乘号两侧时，是否带“以”代表两数具体先后顺序的不同，因此是否强制带“以”取决于被称为“乘法”的运算在此处是否可交换。但是对于可交换的乘法，可以不遵守这一规则；在[[代数式]]中、可交换的乘法，要求改为遵守数字和字母、字母之间的习惯排列顺序。

=== 数乘 ===

表示变化量的倍数时，变化量本身不一定是个数，此时其乘以一个数，通常被称为其数乘运算。

== 定义 ==

=== 超运算定义 ===

对自然数 <math>a</math> ，对其进行 <math>b</math> 个自身间的[[加法]]运算（超-1运算），得到的结果 <math>\underbrace{a+a+\dots+a}_b</math> 简记作 <math>a \times b</math> ，是 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的超-2运算，称为自然数的'''乘法'''。

注：若为算术运算而非代数式，一般不推荐写在 <math>b\times a</math> ，因为习惯上把次数写在乘数位置。可参考其他超运算。

=== 公理化定义 ===

对满足皮亚诺公理的自然数集合 <math>N</math> ，对二元函项（运算） <math>\mathring{\times}</math> ，并简记 <math>\mathring{\times}(a, b)</math> 为 <math>a \times b</math> ：
* <math>(\forall n \in N) (n \times \mathbf{0} = \mathbf{0})</math>
* <math>(\forall m \in N)(\forall n \in N) (m \times S(n) = m \times n + m)</math>
则这一运算称为'''自然数集合 <math>N</math> 上的乘法'''，记为 <math>a \times b</math>。

根据以上公理，可以推出自然数上的加法满足[[交换律]]，[[结合律]]，对自然数加法的[[分配律]]，且有幺元 [[1]] 和零元 [[0]] 。

=== 推广到整数 ===

定义整数集 <math>Z</math> 为[[商集]] <math>(N\times N) / \sim</math> ，其中等价关系是 <math>(a,b) \sim (c,d) \leftrightarrow a+d=b+c</math> 。定义二元运算 <math>\times: Z\times Z\to Z</math> ，满足：

<math>
[(a,b)] \times [(c,d)] = [(a \times_N c +_N b \times_N d, a \times_N d +_N b \times_N c)]
</math>

其中等式右侧的 <math>\times_N</math> 是自然数的乘法。其模型相当于整数集上的乘法运算。

可证明良定义且与自然数的乘法运算兼容。可证明这个运算继承了交换律、结合律、对整数加法的分配律、有幺元 [[1]] 和零元 [[0]] 。

=== 推广到有理数 ===

定义有理数集 <math>Q</math> 为[[商集]] <math>(Z \times Z^*) / \sim</math> ，其中等价关系是 <math>(a,b) \sim (c,d) \leftrightarrow a \times_Z d = b \times_Z c</math> 。定义二元运算 <math>\times: Q\times Q\to Q</math> ，满足：

<math>
[(a,b)] \times [(c,d)] = [(a \times_N c, b \times_N d)]
</math>

其中等式右侧的 <math>\times_N</math> 是整数的乘法。其模型相当于整数集上的乘法运算。

可证明良定义且与自然数的乘法运算兼容。可证明这个运算满足交换律、结合律、对有理数加法的分配律、有幺元 [[1]] 、零元 [[0]] ，且获得了非零元素均可逆的性质。

=== 推广到实数 ===

待补充。

== 性质 ==

* 结合律： <math>(ab)c = a(bc)</math>
* 交换律： <math>ab = ba</math> 
* 对加法的分配律： <math>a(b+c)=ab+ac</math> ， <math>(a+b)c = ac+bc</math>
* 有幺元 1 ： <math>a\times 1=a</math> ， <math>1\times a=a</math>
* 有零元 0 ： <math>a\times 0=0</math> ， <math>0\times a=0</math>


{{四则运算}}
{{超运算}}

== 琐事 ==

=== 名称 ===

* 尽管加法的操作数不区分顺序，现在少数情况下，仅限于有的人在强调“将一个数的另一个数倍”的语义时，可能会将被加倍的操作数称为'''被乘数'''('''multiplicand''')，倍数称为'''乘数'''('''multiplier''')，此处乘数和倍数(multiplier)是同一个词。