乘法

乘法
术语名称	乘法
英语名称	multiplicator

乘数
术语名称	乘数
英语名称	factor
别名	multiplier, 因数, 因子, factor

被乘数
术语名称	被乘数
英语名称	multiplicand

积
术语名称	积
英语名称	product

乘法(multiplication)是一个二元运算，是四则运算之一。

乘法运算是第 2 级超运算，也就是说，自然数上的乘法运算可以看作重复自然数的加法运算，即“将一个数不断重复加上自身”的简写。

自然数上的乘法由Peano 乘法公理公理化。

自然数上的乘法可以随着自然数到其他数系的构造被直接延拓。 本条目限制在实数范围。对其他更复杂数系，以及其他数以外的数学对象的加法，参考各自的条目。

描述

乘法
运算名称	乘法
运算符号	[math]\displaystyle{ \times }[/math],[math]\displaystyle{ \cdot }[/math]
Latex	\times , \cdot
运算对象	数
运算元数	2
运算结果	数

表达倍数或两个数互相的累积的运算称为乘法。 其中，两个相乘的数称为乘数(multiplier)，也称为因数(factor)，结果称为积(product)。 数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和数 [math]\displaystyle{ b }[/math] 的积记作 [math]\displaystyle{ a\times b }[/math] ，也记作 [math]\displaystyle{ a \cdot b }[/math] ，不都是直接的数字表示时也记作 [math]\displaystyle{ ab }[/math] ，读作 [math]\displaystyle{ a }[/math] 乘 [math]\displaystyle{ b }[/math] ([math]\displaystyle{ a }[/math] times/by [math]\displaystyle{ b }[/math])。

×
字符	×
Unicode码位	U+00D7 Multiplication sign
Latex命令序列	\times

乘法也通常用于表达计数的倍数，或变化量的倍数，或两个有互相累积关系的量的累计结果的运算。

数乘

表示变化量的倍数时，变化量本身不一定是个数，此时其乘以一个数，通常被称为其数乘运算。

定义

超运算定义

对自然数 [math]\displaystyle{ a }[/math] ，对其进行 [math]\displaystyle{ b }[/math] 个自身间的加法运算（超-1运算），得到的结果 [math]\displaystyle{ \underbrace{a+a+\dots+a}_b }[/math] 简记作 [math]\displaystyle{ a \times b }[/math] ，是 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和 [math]\displaystyle{ b }[/math] 的超-2运算，称为自然数的乘法。

公理化定义

对满足皮亚诺公理的自然数集合 [math]\displaystyle{ N }[/math] ，对二元函项（运算） [math]\displaystyle{ \mathring{\times} }[/math] ，并简记 [math]\displaystyle{ \mathring{\times}(a, b) }[/math] 为 [math]\displaystyle{ a \times b }[/math] ：

• [math]\displaystyle{ (\forall n \in N) (n \times \mathbf{0} = \mathbf{0}) }[/math]
• [math]\displaystyle{ (\forall m \in N)(\forall n \in N) (m \times S(n) = m \times n + m) }[/math]

则这一运算称为自然数集合 [math]\displaystyle{ N }[/math] 上的乘法，记为 [math]\displaystyle{ a \times b }[/math]。

根据以上公理，可以推出自然数上的加法满足交换律，结合律，对自然数加法的分配律，且有幺元 1 和零元 0 。

推广到整数

定义整数集 [math]\displaystyle{ Z }[/math] 为商集 [math]\displaystyle{ (N\times N) / \sim }[/math] ，其中等价关系是 [math]\displaystyle{ (a,b) \sim (c,d) \leftrightarrow a+d=b+c }[/math] 。定义二元运算 [math]\displaystyle{ \times: Z\times Z\to Z }[/math] ，满足：

[math]\displaystyle{ [(a,b)] \times [(c,d)] = [(a \times_N c +_N b \times_N d, a \times_N d +_N b \times_N c)] }[/math]

其中等式右侧的 [math]\displaystyle{ \times_N }[/math] 是自然数的乘法。其模型相当于整数集上的乘法运算。

可证明良定义且与自然数的乘法运算兼容。可证明这个运算继承了交换律、结合律、对整数加法的分配律、有幺元 1 和零元 0 。

推广到有理数

定义有理数集 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为商集 [math]\displaystyle{ (Z \times Z^*) / \sim }[/math] ，其中等价关系是 [math]\displaystyle{ (a,b) \sim (c,d) \leftrightarrow a \times_Z d = b \times_Z c }[/math] 。定义二元运算 [math]\displaystyle{ \times: Q\times Q\to Q }[/math] ，满足：

[math]\displaystyle{ [(a,b)] \times [(c,d)] = [(a \times_N c, b \times_N d)] }[/math]

其中等式右侧的 [math]\displaystyle{ \times_N }[/math] 是整数的乘法。其模型相当于整数集上的乘法运算。

可证明良定义且与自然数的乘法运算兼容。可证明这个运算满足交换律、结合律、对有理数加法的分配律、有幺元 1 、零元 0 ，且获得了非零元素均可逆的性质。

推广到实数

待补充。

性质

• 结合律： [math]\displaystyle{ (ab)c = a(bc) }[/math]
• 交换律： [math]\displaystyle{ ab = ba }[/math]
• 对加法的分配律： [math]\displaystyle{ a(b+c)=ab+ac }[/math] ， [math]\displaystyle{ (a+b)c = ac+bc }[/math]
• 有幺元 1 ： [math]\displaystyle{ a\times 1=a }[/math] ， [math]\displaystyle{ 1\times a=a }[/math]
• 有零元 0 ： [math]\displaystyle{ a\times 0=0 }[/math] ， [math]\displaystyle{ 0\times a=0 }[/math]

四则运算
加法 [math]\displaystyle{ + }[/math]	减法 [math]\displaystyle{ - }[/math]	乘法 [math]\displaystyle{ \times }[/math]	除法 [math]\displaystyle{ \div }[/math]

超运算 [math]\displaystyle{ a[n]b }[/math] / [math]\displaystyle{ a\uparrow\dots\uparrow b }[/math]
级别 [math]\displaystyle{ n }[/math]	0	1	2	3	4	5	…
超运算	后继	加法	乘法	乘方	超幂/幂塔/迭代幂次	广义迭代幂次	…
对 [math]\displaystyle{ a }[/math] 逆运算	前趋	减法	除法	开方	超开方	…
对 [math]\displaystyle{ b }[/math] 逆运算				对数	超对数	…

琐事

名称

• 尽管加法的操作数不区分顺序，现在少数情况下，仅限于有的人在强调“将一个数的另一个数倍”的语义时，可能会将被加倍的操作数称为被乘数(multiplicand)，倍数称为乘数(multiplier)，此处乘数和倍数(multiplier)是同一个词。