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[[分类:连分数理论]]
[[分类:代数数理论]]
{{InfoBox
|name=二次无理数
|eng_name=quadratic irrational number
|aliases=quadratic irrational,quadratic surd,二次代数数
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|name=实二次无理数
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'''二次无理数'''('''quadratic irrational''')指可以是整系数二次方程的根的复数，必然满足固定形式 <math>r+s\sqrt{d}</math> 。其中的实数称为'''实二次无理数'''，虚数称为'''复二次无理数'''。

== 定义 ==

对[[复数]] <math>\alpha</math> ，若 <math>\alpha</math> 是整系数[[二次方程]] <math>ax^2 + bx + c = 0</math> 的根，且[[二次方程判别式]] <math>\Delta=b^2-4ac</math> 不是[[完全平方数]]，则称复数 <math>\alpha</math> 为一个'''二次无理数'''('''quadratic irrational number''')/'''二次代数数'''。特别地，如果 <math>\alpha</math> 是[[实数]]，称为'''实二次无理数'''('''real quadratic irrational number''')，否则称为'''复二次无理数'''('''complex quadratic irrational number''')。

=== 等价定义 ===

对[[复数]] <math>\alpha</math> ，若存在 <math>d \in \mathbb{Z} \setminus \{0,1\}, r\in\mathbb{Q}, s\in\mathbb{Q}^*</math> 使得 <math>\alpha = r + s\sqrt{d}/math> ，则称复数 <math>\alpha</math> 为一个'''二次无理数'''('''quadratic irrational number''')/'''二次代数数'''。特别地，当 <math>d > 0</math> 时， <math>\alpha</math> 是无理数，称为'''实二次无理数'''('''real quadratic irrational number''')，否则是虚数，称为'''复二次无理数'''('''complex quadratic irrational number''')。

也可以要求 <math>d</math> 无质数平方的因数。

=== 共轭数 ===

对 <math>\alpha=r+s\sqrt{d}</math> ，称 <math>\alpha'=r-s\sqrt{d}</math> 为其'''共轭'''('''conjugate''')。

== 性质 ==

对任意特定非完全平方数的 <math>d</math> ，形如 <math>r+s\sqrt{d}</math> 的数称为同类二次无理数，其构成 <math>\mathbb{Q}</math> 的扩域 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> ，对[[四则运算]]封闭。