二次无理数

二次无理数
术语名称	二次无理数
英语名称	quadratic irrational number
别名	quadratic irrational, quadratic surd, 二次代数数

实二次无理数
术语名称	实二次无理数
英语名称	real quadratic irrational number
别名	real quadratic irrational, 二次代数数

复二次无理数
术语名称	复二次无理数
英语名称	complex quadratic irrational number
别名	complex quadratic irrational, 二次代数数

二次无理数(quadratic irrational)指可以是整系数二次方程的根的复数，必然满足固定形式 [math]\displaystyle{ r+s\sqrt{d} }[/math] 。其中的实数称为实二次无理数，虚数称为复二次无理数。

定义

对复数 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 是整系数二次方程 [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0 }[/math] 的根，且二次方程判别式 [math]\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac }[/math] 不是完全平方数，则称复数 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 为一个二次无理数(quadratic irrational number)/二次代数数。特别地，如果 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 是实数，称为实二次无理数(real quadratic irrational number)，否则称为复二次无理数(complex quadratic irrational number)。

等价定义

对复数 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] ，若存在 [math]\displaystyle{ d \in \mathbb{Z} \setminus \{0,1\}, r\in\mathbb{Q}, s\in\mathbb{Q}^* }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ \alpha = r + s\sqrt{d}/math\gt ，则称复数 \lt math\gt \alpha }[/math] 为一个二次无理数(quadratic irrational number)/二次代数数。特别地，当 [math]\displaystyle{ d \gt 0 }[/math] 时， [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 是无理数，称为实二次无理数(real quadratic irrational number)，否则是虚数，称为复二次无理数(complex quadratic irrational number)。

也可以要求 [math]\displaystyle{ d }[/math] 无质数平方的因数。

共轭数

对 [math]\displaystyle{ \alpha=r+s\sqrt{d} }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ \alpha'=r-s\sqrt{d} }[/math] 为其共轭(conjugate)。

性质

对任意特定非完全平方数的 [math]\displaystyle{ d }[/math] ，形如 [math]\displaystyle{ r+s\sqrt{d} }[/math] 的数称为同类二次无理数，其构成 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] 的扩域 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{d}) }[/math] ，对四则运算封闭。