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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=二阶循环群
|eng_name=cyclic group of order 2
|aliases=二阶群,group of order 2
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|name=二阶群
|type=群
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{{#seo:
|keywords=二阶群, 二阶循环群, 二次对称群, 二次二面体群
|description=双元素集上构成群的二元运算在同构意义下唯一，因此只存在一种二阶群。二阶群是二阶循环群、二次对称群、二阶二面体群，且是所有偶数阶群的子群。整数奇偶性在加法下、符号在乘法下、排列奇偶性在复合下，这些构成的群都是其实例。
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|published_time=2024-10-11
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只有两个元素的[[集合]]上，[[封闭]]、有[[幺元]]、有[[逆元]]的二元运算只有两个，且只是交换了两个元素的地位，在结构上并无区别，因此每个双元素集上有同构意义下唯一的群。

全部二阶群在同构意义下唯一，一般也被称为''' 2 阶循环群''' <math>C_2</math> 。

是[[交换群]]。是[[循环群]]、[[对称群]]、[[二面体群]]。

== 定义 ==

对双元素集， <math>\{e, x\}</math> 及其上二元运算 <math>\cdot: \begin{cases}(e, e) \mapsto e \\ (e, x) \mapsto x \\ (x, e) \mapsto x \\ (x, x) \mapsto e \end{cases}</math> ，可验证这一运算封闭、有结合性、有幺元、有逆元，因此 <math>\langle \{e, x\}, \cdot, e \rangle</math> 是一个群。

这个群是 2 阶循环群，因此记作 <math>C_2</math> 或 <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> 。

注：由于幺元和逆元要求，两个元素必然有一个是幺元，而且都只能是自己的逆元，因此将其中的幺元记为 <math>e</math> ，非幺元记为 <math>x</math> ，则符合群定义的运算只有以上一种。运算实际上根据幺元的选择不同有两种，但同构意义下唯一。

== 举例 ==

* '''符号群'''('''sign group''') <math>\langle \{1, -1\}, \cdot, 1 \rangle</math> 。
* [[异或]]运算（即[[逻辑异或]]运算）。
* [[模 n 剩余类加法群|模 2 加法群]] <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> 。即[[整数加群]]对偶数加法群的[[商群|商]]。也即“奇数”、“偶数”两个类别关于加法构成的群。
* 2 阶循环群 <math>C_2</math> 。即对一个二阶元 <math>x</math> 满足 <math>x^2 = e</math> 所生成的群 <math>\left\langle x\right\rangle = \{x^k\mid k\in \mathbb{N}\} = \{e,x\}</math> 构成的群。如一个长短边不等的矩形绕中心旋转至与原图形重合。
* 2 次对称群 <math>S_2</math> 。即对两个元素，由[[恒等映射|恒等变换]] <math>i</math> 和两个元素的[[对换]] <math>\tau=(12)</math> 构成的群。
* 2 阶二面体群 <math>D_2</math> 。即一个只具有正反面的抽象图形，由恒等变换和翻面构成的群。

== 刻画 ==

二阶群中有两个元素：

* 幺元是某元素 <math>e</math> ，对应的操作是恒等操作“不变”；
* 另一个是非幺元，对应的操作是两个值之间的“反转”。

=== Cayley 表 ===

二阶群的 [[Cayley 表]]如下所示：

<math>
\begin{array}{c|cc}
\cdot & e & x \\ \hline
e & e & x \\
x & x & e
\end{array}
</math>

循环群视角：

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ <math>C_2</math> 群表
|-
! 复合
! 恒等 <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c2_e}}
! 半周旋转 <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c2_x}}
|-
! 恒等 <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c2_e}}
| 恒等 <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c2_e}}
| 半周旋转 <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c2_x}}
|-
! 半周旋转 <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c2_x}}
| 半周旋转 <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c2_x}}
| 恒等 <math>r^2 = i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c2_x2}}
|}

对称群视角：

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ <math>S_2</math> 群表
|-
! 复合
! 恒等 <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s2_i}}
! 对换 <math>\tau</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s2_t}}
|-
! 恒等 <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s2_i}}
| 恒等 <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s2_i}}
| 对换 <math>\tau</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s2_t}}
|-
! 对换 <math>\tau</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s2_t}}
| 对换 <math>\tau</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s2_t}}
| 恒等 <math>\tau^2=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/s2_i}}
|}

=== Cayley 图 ===

是一个有二阶元的循环群。

{{GiteaSvg|groups/c2_graph}}

=== 群表示 ===

二阶群的[[群表示]]为 <math>\langle x \mid x^2 \rangle</math> 。

== 性质 ==

* 群
** 二阶群中，两个元素 <math>e, x</math> 的逆元都是其自身，二次幂都是幺元，进一步地说分别是一、二阶元。
** 是交换群。
* 子群结构
** [[子群]]分布：质数阶群只有平凡子群，即[[平凡群]]和自身。
** [[正规子群]]：交换群的子群都是正规子群，以上两个子群均正规。
** [[商群]]：对平凡子群做商得到平凡商群，分别为自身和平凡群。
* 是其他复杂结构的平凡形式
** 模 2 加法群 <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> 。
** 2 阶循环群 <math>C_2</math> 。
** 2 次对称群 <math>S_2</math> 。
** ……
* 自同态结构
** 只有两个[[群自同态|自同态]]：[[恒等映射|恒等同态]] <math>\mathrm{id}_{C_2}: g\mapsto g</math> 和[[平凡同态]] <math>g\mapsto e_{C_2}</math> 。
** 只有平凡[[群自同构|自同构]]：恒等映射。 <math>\mathrm{Aut}(C_2)\cong 1</math> 。可证明自同构群是平凡群当且仅当这个群同构于平凡群或二阶群。


{{小阶数群}}

== 参考资料 ==

https://groupprops.subwiki.org/wiki/Cyclic_group:Z2