二阶群

二阶循环群
术语名称	二阶循环群
英语名称	cyclic group of order 2
别名	二阶群, group of order 2

二阶群
对象名称	二阶群
对象记号	[math]\displaystyle{ C_2 }[/math]
Latex	C_2
对象类别	群

只有两个元素的集合上，封闭、有幺元、有逆元的二元运算只有两个，且同构意义下相同，因此每个双元素集上有同构意义下唯一的群。

全部二阶群在同构意义下唯一，一般也被称为 2 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 。

定义

对双元素集， [math]\displaystyle{ \{e, x\} }[/math] 及其上二元运算 [math]\displaystyle{ \cdot: \begin{cases}(e, e) \mapsto e \\ (e, x) \mapsto x \\ (x, e) \mapsto x \\ (x, x) \mapsto e \end{cases} }[/math] ，可验证这一运算封闭、有结合性、有幺元、有逆元，因此 [math]\displaystyle{ \langle \{e, x\}, \cdot, e \rangle }[/math] 是一个群。

这个群是 2 阶循环群，因此记作 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} }[/math] 。

注：由于幺元和逆元要求，两个元素必然有一个是幺元，而且都只能是自己的逆元，因此将其中的幺元记为 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，非幺元记为 [math]\displaystyle{ x }[/math] ，则符合群定义的运算只有以上一种。运算实际上根据幺元的选择不同有两种，但同构意义下唯一。

举例

• 符号群(sign group) [math]\displaystyle{ \langle \{1, -1\}, \cdot, 1 \rangle }[/math] 。
• 异或运算。
• 模 2 加法群 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} }[/math] 。即整数加群对偶数加法群的商。
• 2 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 。

刻画

二阶群中有两个元素：

• 幺元是某元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，对应的操作是恒等操作“不变”；
• 另一个是非幺元，对应的操作是两个值之间的“反转”。

二阶群的 Cayley 表如下所示：

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|cc} \cdot & e & x \\ \hline e & e & x \\ x & x & e \end{array} }[/math]

二阶群的群表示为 [math]\displaystyle{ \langle x \mid x^2 \rangle }[/math] 。

性质

• 群
  • 二阶群中，两个元素 [math]\displaystyle{ e, x }[/math] 的逆元都是其自身，二次幂都是幺元，进一步地说分别是一、二阶元。
  • 是交换群。
• 子群结构
  • 只有平凡子群。
• 是其他复杂结构的平凡形式
  • 模 2 加法群 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} }[/math] 。
  • 2 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 。
  • 2 次置换群 [math]\displaystyle{ S_2 }[/math] 。
  • ……

小群
1	平凡群 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math]
2	二阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math]
3	三阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math]
4	四阶循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math]、Klein 四元群 [math]\displaystyle{ K_4 }[/math]
5	五阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math]
6	六阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 、三次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] / 六阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math]
7	七阶循环群 [math]\displaystyle{ C_7 }[/math]
8	八阶循环群 [math]\displaystyle{ C_8 }[/math] 、八阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_8 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_4 \times C_2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 }[/math] 、四元数群