二阶群
| 二阶循环群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 二阶循环群 |
| 英语名称 | cyclic group of order 2 |
| 别名 | 二阶群, group of order 2 |
| 二阶群 | |
|---|---|
| 对象名称 | 二阶群 |
| 对象记号 | [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] |
| Latex | C_2
|
| 对象类别 | 群 |
只有两个元素的集合上，封闭、有幺元、有逆元的二元运算只有两个，且只是交换了两个元素的地位，在结构上并无区别，因此每个双元素集上有同构意义下唯一的群。
全部二阶群在同构意义下唯一，一般也被称为 2 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 。
定义
对双元素集， [math]\displaystyle{ \{e, x\} }[/math] 及其上二元运算 [math]\displaystyle{ \cdot: \begin{cases}(e, e) \mapsto e \\ (e, x) \mapsto x \\ (x, e) \mapsto x \\ (x, x) \mapsto e \end{cases} }[/math] ，可验证这一运算封闭、有结合性、有幺元、有逆元，因此 [math]\displaystyle{ \langle \{e, x\}, \cdot, e \rangle }[/math] 是一个群。
这个群是 2 阶循环群，因此记作 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} }[/math] 。
注：由于幺元和逆元要求，两个元素必然有一个是幺元，而且都只能是自己的逆元，因此将其中的幺元记为 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，非幺元记为 [math]\displaystyle{ x }[/math] ，则符合群定义的运算只有以上一种。运算实际上根据幺元的选择不同有两种，但同构意义下唯一。
举例
- 符号群(sign group) [math]\displaystyle{ \langle \{1, -1\}, \cdot, 1 \rangle }[/math] 。
- 异或运算（即逻辑异或运算）。
- 模 2 加法群 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} }[/math] 。即整数加群对偶数加法群的商。也即“奇数”、“偶数”两个类别关于加法构成的群。
- 2 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 。即对一个二阶元 [math]\displaystyle{ x }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ x^2 = e }[/math] 所生成的群 [math]\displaystyle{ \left\langle x\right\rangle = \{x^k\mid k\in \mathbb{N}\} = \{e,x\} }[/math] 构成的群。如一个长短边不等的矩形绕中心旋转至与原图形重合。
- 2 次对称群 [math]\displaystyle{ S_2 }[/math] 。即对两个元素，由恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math] 和两个元素的对换 [math]\displaystyle{ \tau=(12) }[/math] 构成的群。
- 2 阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_2 }[/math] 。即一个只具有正反面的抽象图形，由恒等变换和翻面构成的群。
刻画
二阶群中有两个元素：
- 幺元是某元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，对应的操作是恒等操作“不变”；
- 另一个是非幺元，对应的操作是两个值之间的“反转”。
Cayley 表
二阶群的 Cayley 表如下所示：
[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|cc} \cdot & e & x \\ \hline e & e & x \\ x & x & e \end{array} }[/math]
循环群视角：
| 复合 | 恒等 [math]\displaystyle{ i }[/math] 
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半周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math] 
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|---|---|---|
| 恒等 [math]\displaystyle{ i }[/math]
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恒等 [math]\displaystyle{ i }[/math]
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半周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]
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| 半周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]
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半周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]
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恒等 [math]\displaystyle{ r^2 = i }[/math] 
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对称群视角：
| 复合 | 恒等 [math]\displaystyle{ i }[/math] 
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对换 [math]\displaystyle{ \tau }[/math] 
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|---|---|---|
| 恒等 [math]\displaystyle{ i }[/math]
|
恒等 [math]\displaystyle{ i }[/math]
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对换 [math]\displaystyle{ \tau }[/math]
|
| 对换 [math]\displaystyle{ \tau }[/math]
|
对换 [math]\displaystyle{ \tau }[/math]
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恒等 [math]\displaystyle{ \tau^2=i }[/math]
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Cayley 图
是一个有二阶元的循环群。
群表示
二阶群的群表示为 [math]\displaystyle{ \langle x \mid x^2 \rangle }[/math] 。
性质
- 群
- 二阶群中，两个元素 [math]\displaystyle{ e, x }[/math] 的逆元都是其自身，二次幂都是幺元，进一步地说分别是一、二阶元。
- 是交换群。
- 子群结构
- 是其他复杂结构的平凡形式
- 模 2 加法群 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} }[/math] 。
- 2 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 。
- 2 次对称群 [math]\displaystyle{ S_2 }[/math] 。
- ……
- 自同态结构
| 小群 | |
|---|---|
| 1 | 平凡群 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math] |
| 2 | 二阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] |
| 3 | 三阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math] |
| 4 | 四阶循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math]、Klein 四元群 [math]\displaystyle{ V }[/math] / [math]\displaystyle{ K_4 }[/math] |
| 5 | 五阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math] |
| 6 | 六阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 、三次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] / 六阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math] |
| 7 | 七阶循环群 [math]\displaystyle{ C_7 }[/math] |
| 8 | 八阶循环群 [math]\displaystyle{ C_8 }[/math] 、八阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_8 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_4 \times C_2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 }[/math] 、四元数群 |