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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=二面体群
|eng_name=dihedral group
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'''二面体群'''('''dihedral group''')指能使得一个[[正多边形]]与原图重合的，[[旋转]]及沿过中心的对称轴的[[轴对称]]，关于其[[复合（映射）|复合]]所构成的群。

== 定义 ==

对一个正 <math>n</math> 边形，共有 <math>2n</math> 种对称：
* <math>n</math> 个不同的旋转对称，每个将图形旋转更多 <math>\frac{2\pi}{n}</math> ；
* <math>n</math> 个不同的翻转对称，从经过中心和任意一个顶点的直线起，每隔 <math>\frac{\pi}{n}</math> 会有下一条对称轴。
这些变换的集合关于变换的复合构成一个群，称为'''二面体群'''('''dihedral group''')。对正 <math>n</math> 边形，这个二面体群称为 '''<math>2n</math> 阶二面体群'''('''dihedral group of order <math>2n</math>''')，记为 <math>D_{2n}</math> 。

也有人记作 <math>D_n</math> 或 <math>\mathrm{Dih}_n</math> 。

== 与对称群 ==

二面体群可以看成顶点的重新[[排列]]（[[置换]]），但是部分置换不对应原图形，因此可以看作一个[[置换群]]。

== 举例 ==

* 2 阶二面体群 <math>D_2</math> 只有正反两个方向的翻转，是[[二阶群|二阶循环群]] <math>C_2</math>。
* 4 阶二面体群 <math>D_4</math> 同构于 [[Klein 四元群]] <math>K_4</math> 。
* 6 阶二面体群 <math>D_6</math> 同构于[[三次对称群]] <math>S_3</math> 。


{{群}}