二面体群
| 二面体群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 二面体群 |
| 英语名称 | dihedral group |
二面体群(dihedral group)指能使得一个正多边形与原图重合的，旋转及沿过中心的对称轴的轴对称，关于其复合所构成的群。
定义
对一个正 [math]\displaystyle{ n }[/math] 边形，共有 [math]\displaystyle{ 2n }[/math] 种对称：
- [math]\displaystyle{ n }[/math] 个不同的旋转对称，每个将图形旋转更多 [math]\displaystyle{ \frac{2\pi}{n} }[/math] ；
- [math]\displaystyle{ n }[/math] 个不同的翻转对称，从经过中心和任意一个顶点的直线起，每隔 [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{n} }[/math] 会有下一条对称轴。
这些变换的集合关于变换的复合构成一个群，称为二面体群(dihedral group)。对正 [math]\displaystyle{ n }[/math] 边形，这个二面体群称为 [math]\displaystyle{ 2n }[/math] 阶二面体群(dihedral group of order [math]\displaystyle{ 2n }[/math])，记为 [math]\displaystyle{ D_{2n} }[/math] 。
也有人记作 [math]\displaystyle{ D_n }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \mathrm{Dih}_n }[/math] 。
与对称群
二面体群可以看成顶点的重新排列（置换），但是部分置换不对应原图形，因此可以看作一个置换群。